Question

已知函数f(x)=-x^3+ax^2-4(a∈R)

（1)若a=2，设f(x)的导函数是f’(x)，且m,n∈〔-1,1〕时，求f(m)+f'(n)最小值
（2）若存在x0∈(0,+∞),使f(X0）＞0，求a的取值范围

Answer 1

1.由f'(x)=-3x^2+4x=0,得（-1，1)内唯一极小值点x=0，故f(m)最小值为f(0)=-4
f'(n)=-3n^2+4n=-3(n-2/3)^2+4/3(n∈〔-1,1〕),当n=2/3时取最小值4/3
故f(m)+f'(n)最小值为-4+4/3=-8/3

2.只需x∈（0，+∞）时，f(x)最大值>0即可
f'(x)=-3x^2+2ax=-x(3x-2a)
若a≤0,f'(x)≤0,f(x)在（0，+∞）为减函数，最大值<f(0)=-4,不符合题意
若a>0,f'(x)在（0，2a/3)为增函数，（2a/3,+∞)为减函数,在x=2a/3出取最大值f(2a/3)
由f(2a/3)>0,解得a>3