Question

证明勾股定理的逆定理

以知三角形ABC的三边满足 a平方+b平方=c平方

求证:三角形ABC是直角三角形

急!!!

Answer 1

勾股定理的逆定理是判断三角形为钝角、锐角或直角的一个简单的方法，其中AB=c为最长边。
证明方法
勾股定理的逆定理是判断三角形为锐角或直角的一个简单的方法
其中c为最长边:
如果a×a+b×b=c×c，则△ABC是直角三角形。
如果a×a+b×b＞c×c，则△ABC是锐角三角形。
如果a×a+b×b＜c×c，则△ABC是钝角三角形。
勾股定理逆定理的证明:
1、反证法
令角C不是直角，
则a^2+b^2=c^2不成立，
所以矛盾，
所以角C是直角。
2、勾股定理逆定理
如果三角形的三边长a、b、c满足条件a^2+b^2=c^2，
那么C边所对的角是直角。
3、三角函数Cos90
如图:已知AB^2+BC^2=AC^2，
而任一三角形的边之间均满足，
AC^2=AB^2+BC^2-2AB*BA*COSB
，
比较两式得
，
COSB=0
，
B=90度。
已知△ABC的三边AB=c，BC=a，CA=b，且满足a^2+b^2=c^2，证明∠C=90°。
证法1：同一法。
证法的思路是做一个直角三角形，然后证明它和已知三角形全等，从而已知三角形也是直角三角形。
构造一个直角三角形A'B'C'，使∠C'=90°，a'=a，b'=b。
那么，根据勾股定理，c'^2=a'^2+b'^2=a^2+b^2=c^2，从而c'=c。
在△ABC和△A'B'C'中，
a=a'b=b'c=c'∴△ABC≌△A'B'C'。
因而，∠C=∠C'=90°。（证毕）
证法2：余弦定理。
由于余弦定理是由勾股定理推出的，故可以用来证明其逆定理而不算循环论证。
根据余弦定理，在△ABC中，cosC=(a^2+b^2-c^2）/2ab。
由于a^2+b^2=c^2，故cosC=0；又因为C小于平角，从而C=90°。（证毕）
证法3：相似三角形。
证法的思路是将已知三角形分割成两块，然后证明它们互补的两角相等，从而这两角都是直角。
在AB边上截取点D使∠DCB=∠A。
在△CDB与△ACB中，∠B=∠B，∠DCB=∠A，∴△CDB∽△ACB（两角对应相等）∴BC/BA=BD/BC，从而BD=a^2/c。又由CD/AC=CB/AB知，CD=ab/c。
另一方面，AD=AB-BD=c-a^2/c=b^2/c（因为c^2=a^2+b^2），
在△ACD与△CBD中，
DC/AD=(ab/c)
/
(b^2/c)=a/b,
BC/AC=a/b,
BD/CD=(a^2/c)
/
(ab/c)=a/b,
∴△ACD∽△CBD（三边对应成比例）。
∴∠BDC=∠CDA。
而∠BDC+∠CDA=180°，故∠BDC=∠CDA=90°。
由于∠ACB=∠CDB，所以∠ACB90°。（证毕）
要进行实际应用，那样就事半功倍
证法4
做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b
，斜边长为c.
把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上.
过C作AC的延长线交DF于点P.
∵
D、E、F在一条直线上，且RtΔGEF
≌
RtΔEBD,
∴
∠EGF
=
∠BED，
∵
∠EGF
+
∠GEF
=
90°，
∴
∠BED
+
∠GEF
=
90°，
∴
∠BEG
=180°―90°=
90°
又∵
AB
=
BE
=
EG
=
GA
=
c，
∴
ABEG是一个边长为c的正方形.
∴
∠ABC
+
∠CBE
=
90°
∵
RtΔABC
≌
RtΔEBD,
∴
∠ABC
=
∠EBD.
∴
∠EBD
+
∠CBE
=
90°
即
∠CBD=
90°
又∵
∠BDE
=
90°，∠BCP
=
90°，
BC
=
BD
=
a.
∴
BDPC是一个边长为a的正方形.
同理，HPFG是一个边长为b的正方形.
证法5
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a）
，斜边长为c.
再做一个边长为c的正方形.
把它们拼成如图所示的多边形.
分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，
∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，
∴FI=a，
∴G,I,J在同一直线上，
∵CJ=CF=a，CB=CD=c，
∠CJB
=
∠CFD
=
90°，
∴RtΔCJB
≌
RtΔCFD
，
同理，RtΔABG
≌
RtΔADE，
∴RtΔCJB
≌
RtΔCFD
≌
RtΔABG
≌
RtΔADE
∴∠ABG
=
∠BCJ,
∵∠BCJ
+∠CBJ=
90°，
∴∠ABG
+∠CBJ=
90°，
∵∠ABC=
90°，
∴G,B,I,J在同一直线上，
证法6
做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结
BF、CD.
过C作CL⊥DE，
交AB于点M，交DE于点L.
∵
AF
=
AC，AB
=
AD，
∠FAB
=
∠GAD，
∴
ΔFAB
≌
ΔGAD，
∵
ΔFAB的面积等于，
ΔGAD的面积等于矩形ADLM
的面积的一半，
∴
矩形ADLM的面积
=.
同理可证，矩形MLEB的面积
=.
∵
正方形ADEB的面积
=
矩形ADLM的面积
+
矩形MLEB的面积
∴
即a的平方+b的平方=c的平方
证法7
已知在△ABC中，a2+b2=c2，求证∠C=90°
证明：作AH⊥BC于H
⑴若∠C为锐角，设BH=y,AH=x
得x2+y2=c2，
又∵a2+b2=c2，
∴a2+b2=x2+y2（A）
但a>y,b>x，∴a2+b2>x2+y2（B)
（A）与（B）矛盾，∴∠C不为锐角
⑵若∠C为钝角，设HC=y,AH=x
得a2+b2=c2=x2+（a+y）2=x2+y2+2ay+a2
∵x2+y2=b2，
得a2+b2=a2+b2+2ay
2ay=0
∵a≠0，∴y=0
这与∠C是钝角相矛盾，∴∠C不为钝角
综上所述，∠C必为直角在△ABC中，a2+b2=c2，求证∠C=90°
证明：作AH⊥BC于H
⑴若∠C为锐角，设BH=y,AH=x
得x2+y2=c2，
又∵a2+b2=c2，
∴a2+b2=x2+y2（A）
但a>y,b>x，∴a2+b2>x2+y2（B)
（A）与（B）矛盾，∴∠C不为锐角
⑵若∠C为钝角，设HC=y,AH=x
得a2+b2=c2=x2+（a+y）2=x2+y2+2ay+a2
∵x2+y2=b2，
得a2+b2=a2+b2+2ay
2ay=0
∵a≠0，∴y=0
这与∠C是钝角相矛盾，∴∠C不为钝角
综上所述，∠C必为直角
其他证明
这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思（Elisha
Scott
Loomis）的
Pythagorean
Proposition（《毕达哥拉斯命题》）一书中总共提到367种证明方式。　有人会尝试以三角恒等式（例如：正弦和余弦函数的泰勒级数）来证明勾股定理，但是，因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股定理的证明（参见循环论证）。
证法1
作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b
，斜边长为c.
把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上。过点C作AC的延长线交DF于点P.
　∵
D、E、F在一条直线上，
且RtΔGEF
≌
RtΔEBD，
　∴
∠EGF
=
∠BED，
　∵
∠EGF
+
∠GEF
=
90°，
　∴
∠BED
+
∠GEF
=
90°，
　∴
∠BEG
=180°―90°=
90°
　又∵
AB
=
BE
=
EG
=
GA
=
c，
　∴
ABEG是一个边长为c的正方形。　∴
∠ABC
+
∠CBE
=
90°
　∵
RtΔABC
≌
RtΔEBD，
　∴
∠ABC
=
∠EBD.
　∴
∠EBD
+
∠CBE
=
90°
　即
∠CBD=
90°
　又∵
∠BDE
=
90°，∠BCP
=
90°，
　BC
=
BD
=
a.
　∴
BDPC是一个边长为a的正方形。　同理，HPFG是一个边长为b的正方形.
　设多边形GHCBE的面积为S，则
　A2+B2=C2
证法2
作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a）
，斜边长为c.
再做一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.
　过点Q作QP∥BC，交AC于点P.
　过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点
　F作FN⊥PQ，垂足为N.
　∵
∠BCA
=
90°，QP∥BC，
　∴
∠MPC
=
90°，
　∵
BM⊥PQ，
　∴
∠BMP
=
90°，
　∴
BCPM是一个矩形，即∠MBC
=
90°。　∵
∠QBM
+
∠MBA
=
∠QBA
=
90°，
　∠ABC
+
∠MBA
=
∠MBC
=
90°，
　∴
∠QBM
=
∠ABC，
　又∵
∠BMP
=
90°，∠BCA
=
90°，BQ
=
BA
=
c，
　∴
RtΔBMQ
≌
RtΔBCA.
　同理可证RtΔQNF
≌
RtΔAEF.即A2+B2=C2
证法3
作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a）
，斜边长为c.
再作一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形.
　分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，
　∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，
　∴FI=a，
　∴G,I,J在同一直线上，
　∵CJ=CF=a，CB=CD=c，
　∠CJB
=
∠CFD
=
90°，
　∴RtΔCJB
≌
RtΔCFD
，
　同理，RtΔABG
≌
RtΔADE，
　∴RtΔCJB
≌
RtΔCFD
≌
RtΔABG
≌
RtΔADE
　∴∠ABG
=
∠BCJ，　∵∠BCJ
+∠CBJ=
90°，
　∴∠ABG
+∠CBJ=
90°，　∵∠ABC=
90°，
　∴G,B,I,J在同一直线上，
　A2+B2=C2。
证法4
作三个边长分别为a、b、c的三角形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结
　BF、CD.
过C作CL⊥DE，
　交AB于点M，交DE于点L.
　∵
AF
=
AC，AB
=
AD，
　∠FAB
=
∠GAD，
　∴
ΔFAB
≌
ΔGAD，
　∵
ΔFAB的面积等于，
　ΔGAD的面积等于矩形ADLM
　的面积的一半，
　∴
矩形ADLM的面积
=.
　同理可证，矩形MLEB的面积
=.
　∵
正方形ADEB的面积
　=
矩形ADLM的面积
+
矩形MLEB的面积
　∴
即A2+B2=C2
证法5
《几何原本》中的证明
　在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。　在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下：　如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS定理）
三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。　其证明如下：　设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB。其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A
和
G
都是线性对应的，同理可证B、A和H。∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。因为
AB
和
BD
分别等于
FB
和
BC，所以△ABD
必须相等于△FBC。因为
A
与
K
和
L是线性对应的，所以四方形
BDLK
必须二倍面积于△ABD。因为C、A和G有共同线性，所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。因此四边形
BDLK
必须有相同的面积
BAGF
=
AB²；。同理可证，四边形
CKLE
必须有相同的面积
ACIH
=
AC2；。把这两个结果相加，
AB2;+
AC2;;
=
BD×BK
+
KL×KC。由于BD=KL，BD×BK
+
KL×KC
=
BD(BK
+
KC)
=
BD×BC
由于CBDE是个正方形，因此AB2;+
AC2;=
BC2；。此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的。
折叠达芬奇的证法
三张纸片其实是同一张纸，把它撕开重新拼凑之后，中间那个“洞”的面积前后仍然是一样的，但是面积的表达式却不再相同，让这两个形式不同的表达式相等，就能得出一个新的关系式——勾股定理，所有勾股定理的证明方法都有这么个共同点。观察纸片一，因为要证的是勾股定理，那么容易知道EB⊥CF，又因为纸片的两边是对称的，所以能够知道四边形ABOF和CDEO都是正方形。然后需要知道的是角A'和角D'都是直角，原因嘛，可以看纸片一，连结AD，因为对称的缘故，所以∠BAD=∠FAD=∠CDA=∠EDA=45°，那么很明显，图三中角A'和角D'都是直角。　证明：　第一张中多边形ABCDEF的面积S1=S正方形ABOF+S正方形CDEO+2S△BCO=OF2+OE2+OF·OE
　第三张中多边形A'B'C'D'E'F'的面积S2=S正方形B'C'E'F'+2△C'D'E'=E'F'2+C'D'·D'E'
　因为S1=S2
　所以OF2+OE2+OF·OE=E'F'2+C'D'·D'E'
　又因为C'D'=CD=OE,D'E'=AF=OF
　所以OF2+OE2=E'F'2
　因为E'F'=EF
　所以OF2+OE2=EF2
　勾股定理得证。
证法9
从这张图可以得到一个矩形和三个三角形，推导公式如下：
b
(a
+
b)=
1/2c2;
+
ab
+
1/2(b
+
a)(b
-
a)
　矩形面积
=（中间三角形）+（下方）2个直角三角形+（上方）1个直
　角三角形。　（简化）
2ab
+
2b2;=
c2;
+
b2;-
a2;+
2ab
　2b2;
-
b2;+
a2;=
c2;
　a2;
+
b2;=
c2;
　注：根据加菲尔德图进一步得到的图形。

Answer 2

魅力无比的定理证明
——勾股定理的证明

勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。
在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。
首先介绍勾股定理的两个最为精彩的证明，据说分别来源于中国和希腊。
1．中国方法
画两个边长为(a+b)的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边。这两个正方形全等，故面积相等。

左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形，左右四个三角形面积之和必相等。从左右两图中都把四个三角形去掉，图形剩下部分的面积必相等。左图剩下两个正方形，分别以a、b为边。右图剩下以c为边的正方形。于是
a2+b2=c2。
这就是我们几何教科书中所介绍的方法。既直观又简单，任何人都看得懂。
2．希腊方法
直接在直角三角形三边上画正方形，如图。
容易看出，
△ABA’ ≌△AA’’ C。
过C向A’’B’’引垂线，交AB于C’，交A’’B’’于C’’。
△ABA’与正方形ACDA’同底等高,前者面积为后者面积的一半，△AA’’C与矩形AA’’C’’C’同底等高，前者的面积也是后者的一半。由△ABA’≌△AA’’C，知正方形ACDA’的面积等于矩形AA’’C’’C’的面积。同理可得正方形BB’EC的面积等于矩形B’’BC’C’’的面积。
于是，
S正方形AA’’B’’B=S正方形ACDA’+S正方形BB’EC，
即 a2+b2=c2。
至于三角形面积是同底等高的矩形面积之半，则可用割补法得到（请读者自己证明）。这里只用到简单的面积关系，不涉及三角形和矩形的面积公式。
这就是希腊古代数学家欧几里得在其《几何原本》中的证法。
以上两个证明方法之所以精彩，是它们所用到的定理少，都只用到面积的两个基本观念：
⑴ 全等形的面积相等；
⑵ 一个图形分割成几部分，各部分面积之和等于原图形的面积。
这是完全可以接受的朴素观念，任何人都能理解。
我国历代数学家关于勾股定理的论证方法有多种，为勾股定理作的图注也不少，其中较早的是赵爽（即赵君卿）在他附于《周髀算经》之中的论文《勾股圆方图注》中的证明。采用的是割补法：
如图，将图中的四个直角三角形涂上朱色，把中间小正方形涂上黄色，叫做中黄实，以弦为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配，“令出入相补，各从其类”，他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦也”。
赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，较为简明、直观。
西方也有很多学者研究了勾股定理，给出了很多证明方法，其中有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的。据说当他证明了勾股定理以后，欣喜若狂，杀牛百头，以示庆贺。故西方亦称勾股定理为“百牛定理”。遗憾的是，毕达哥拉斯的证明方法早已失传，我们无从知道他的证法。
下面介绍的是美国第二十任总统伽菲尔德对勾股定理的证明。
如图，
S梯形ABCD= (a+b)2
= (a2+2ab+b2)， ①
又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED
= ab+ ba+ c2
= (2ab+c2)。 ②
比较以上二式，便得
a2+b2=c2。
这一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明相当简洁。
1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证明。5年后，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为勾股定理的“总统”证法，这在数学史上被传为佳话。
在学习了相似三角形以后，我们知道在直角三角形中，斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个直角三角形与原三角形相似。
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°。作CD⊥BC，垂足为D。则
△BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。
由△BCD∽△BAC可得BC2=BD • BA， ①
由△CAD∽△BAC可得AC2=AD • AB。 ②
我们发现，把①、②两式相加可得
BC2+AC2=AB（AD+BD），
而AD+BD=AB，
因此有 BC2+AC2=AB2，这就是
a2+b2=c2。
这也是一种证明勾股定理的方法，而且也很简洁。它利用了相似三角形的知识。
在对勾股定理为数众多的证明中，人们也会犯一些错误。如有人给出了如下证明勾股定理的方法：
设△ABC中，∠C=90°，由余弦定理
c2=a2+b2-2abcosC，
因为∠C=90°，所以cosC=0。所以
a2+b2=c2。
这一证法，看来正确，而且简单，实际上却犯了循环证论的错误。原因是余弦定理的证明来自勾股定理。
人们对勾股定理感兴趣的原因还在于它可以作推广。
欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。
从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”。
勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和。
若以直角三角形的三边为直径分别作球，则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和。
如此等等。

【附录】
一、【《周髀算经》简介】
《周髀算经》算经十书之一。约成书于公元前二世纪，原名《周髀》，它是我国最古老的天文学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。《周髀算经》在数学上的主要成就是介绍了勾股定理及其在测量上的应用。原书没有对勾股定理进行证明，其证明是三国时东吴人赵爽在《周髀注》一书的《勾股圆方图注》中给出的。
《周髀算经》使用了相当繁复的分数算法和开平方法。

二、【伽菲尔德证明勾股定理的故事】
1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边长分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不假思索地回答道：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。
于是，伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。

Answer 3

因为勾股定理的公式是a平方+b平方,所以三角形ABC是直角三角形

Answer 4

先作一个满足a方加b方等于c方的三角形
再作一直角三角形使其两直角边与原三角形的两条较短边相等,既可得这两个三角形全等(SAS)
既此三角形为直角三角形
(超级简练)

Answer 5

a平方+b平方=c平方
所以a平方+b平方-c平方=0=cosC
根据余弦定理，即得角C=90度