Question

高数上册问题，求助数学天才啊!

一、关于收敛数列的保号性(如果Xn的极限是a,且a大于0或小于0,那么存在正整数N大于0,当n大于N,都有Xn大于0或者0)的证明，书上写的是:
就a大于0的情形证明,有数列极限的定义,对ε=a／2＞0，那么存在正整数N＞0，当n＞N,有
|Xn-a|＜a／2,
从而Xn＞a-a／2=a／2＞0
我的问题是为什么要令ε=a／2？ε不是可以为任意数吗？
如果ε取很大呢？大得大于a了怎么办啊？就不能证明Xn大于0了？
请天才指点下

二、收敛数列与其子数列间的关系（如果数列｛Xn｝收敛于a,那么它的任一子数列也收敛,且极限也是a）的证明，书上写的是:
设数列｛Xnk｝是数列｛Xn｝的任一子数列,
由于Xn的极限时a,故存在正整数N,当n＞N时,|Xn-a|＜ε成立.
取K=N,则当k＞K时,nk（k为下缀）＞nk（k为下缀）=nN(N为下缀)≥N，于是|Xnk-a|＜ε，这就证明了Xnk的极限是a。
我的问题是为什么要取K=N啊？

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Answer 1

一、关于收敛数列的保号性(如果Xn的极限是a,且a大于0或小于0,那么存在正整数N大于0,当n大于N,都有Xn大于0或者0)的证明，书上写的是:
就a大于0的情形证明,有数列极限的定义,对ε=a／2＞0，那么存在正整数N＞0，当n＞N,有
|Xn-a|＜a／2,
从而Xn＞a-a／2=a／2＞0
我的问题是为什么要令ε=a／2？ε不是可以为任意数吗？
如果ε取很大呢？大得大于a了怎么办啊？就不能证明Xn大于0了？
请天才指点下
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如果ε=a／2，存在N1>0,n>N1时|Xn-a|<ε
那么ε>a/2时，也肯定存在N2>0,n>N2时|Xn-a|<ε
这个是显然的吧，所以一般证明的时候我们把ε取成一个小的值就可以了
这个证明里面，令ε=a/3,或a/4,a/5..都是可以的啊
比如说存在N,n>N,|Xn-a|<ε=a/k
那么Xn-a>-a/k,显然k>1的时候可以完成我们的证明，0<k<1这个式子虽然成立但对我们的证明没帮助啊

二、收敛数列与其子数列间的关系（如果数列｛Xn｝收敛于a,那么它的任一子数列也收敛,且极限也是a）的证明，书上写的是:
设数列｛Xnk｝是数列｛Xn｝的任一子数列,
由于Xn的极限时a,故存在正整数N,当n＞N时,|Xn-a|＜ε成立.
取K=N,则当k＞K时,nk（k为下缀）＞nk（k为下缀）=nN(N为下缀)≥N，于是|Xnk-a|＜ε，这就证明了Xnk的极限是a。
我的问题是为什么要取K=N啊？
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还是一样，不是说一定要取N，只要能完成证明都是可以的
对于子列{Xnk}，由于它是抽取一部分元素,所以他的第k项的下标肯定要大于等于k
即nk>=k
这里取K=N,是为了让nk>N,这样就可以按定义说明他也收敛到a啊
K取2N,3N,4N也可以,如K=2N,k>K时
nk>=k>K>2N