Question

海伦公式的推导过程？

三角形面积公式

Answer 1

证明：如上图

 根据勾股定理，得：

此时化简得出海伦公式，证毕。

扩展资料：

公式表述

海伦公式：

假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：

而公式里的p为半周长（周长的一半）：

参考资料来源：百度百科-海伦公式

Answer 2

证明：如上图

根据勾股定理，得：

此时化简得出海伦公式，证毕。

新的方法和思路

海伦公式的提出为三角形和多边形的面积计算提供了新的方法和思路，在知道三角形三边的长而不知道高的情况下使用海伦公式可以更快更简便的求出面积，比如说在测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。

中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它完全与海伦公式等价，它填补了中国数学史中的一个空白，从中可以看出中国古代已经具有很高的数学水平。

Answer 3

设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为
cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab
S=1/2*ab*sinC
=1/2*ab*√(1-cos^2 C)
=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]
=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]
=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]
=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]
设p=(a+b+c)/2
则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,
上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

Answer 4

先证三角形的另一个面积公式
S=(ab*SinC)/2(作高再用S=ab/2即可证明)..........(1)
再证余弦定理
c^2=a^2+b^2-2ab*CosC............................(2)
根据公式
(SinC)^2+(CosC)^2=1...........................(3)

由(2),(3)把SinC用a,b,c表示出来再代入(1)即可得出秦九韶--海伦公式

Answer 5

证明:海伦公式:若ΔABC的三边长为a.b.c.则
SΔABC=√((a+b+c)×(-a+b+c)×(a-b+c)×(a+b-c))/4(这是海伦公式的变形.[负号[-"从a左则向右经过a.b.c".负号从x轴负轴向正轴扫描一个周期!我觉得这么记更简单.还设个什么l=(a+b=c)/2啊.多此一举!)
证明:设边c上的高为
h.则有
√(a^2-h^2)+√(b^2-h^2)=c
√(a^2-h^2)=c-√(b^2-h^2)
两边平方.化简得:
2c√(b^2-h^2)=b^2+c^2-a^2
两边平方.化简得:
h=√(b^2-(b^2+c^2-a^2)^2/(4c^2))
SΔABC=ch/2
=c√(b^2-(b^2+c^2-a^2)^2/(4c^2))/2
仔细化简一下.得:
SΔABC=√((a+b+c)×(-a+b+c)×(a-b+c)×(a+b-c))/4
用三角函数证明!
证明:
SΔABC=absinC/2
=ab√(1-(cosC)^2)/2----(1)
∵cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)
∴代入(1)式.(仔细)化简得:
SΔABC=√((a+b+c)×(-a+b+c)×(a-b+c)×(a+b-c))/4