Question

高一数学2道基本不等式及其应用的题目

已知x,y∈R+，m,n∈R，且m^2n^2>x^2m^2+y^2n^2,比较√m^2+n^2与x+y的大小关系

若a>0,b>0,且√a+√b<=m√a+b恒成立，求实数m的最小值

要过程 很急 谢谢

Answer 1

这个…………
1、令m=Rcosθ，n=Rsinθ,则√m^2+n^2=R,而由已知有：R^4sin^2θcos^2θ＞R^2x^2cos^2θ+R^2y^2sin^2θ,即R^2＞x^2/sin^2θ+y^2/cos^2θ≥(x+y)^2/(cos^2θ+sin^2θ)=(x+y)^2,所以√m^2+n^2＞x+y。
注：x^2/sin^2θ+y^2/cos^2θ≥(x+y)^2/(cos^2θ+sin^2θ)的由来。其实这是一个更为广泛的不等式权方和不等式的特例，我们在这证明x^2/a+y^2/b≥(x+y)^2/（a+b)，由柯西不等式得(a+b)*(x^2/a+y^2/b)≥(x+y)^2，除过来就是x^2/a+y^2/b≥(x+y)^2/（a+b)，这个式子也可以用平均值不等式来证明，取a=cosθ,b=sinθ,就是x^2/sin^2θ+y^2/cos^2θ≥(x+y)^2/(cos^2θ+sin^2θ)了。

2、(√a+√b)^2=a+b+2√ab,由于a+b≥2√ab，所以(√a+√b)^2=a+b+2√ab≤2(a+b),√a+√b≤√2*√a+b,m=√2。