Question

正方形边长为a，以四个顶点为圆心，边长为半径，在正方形内画弧，四条弧围成的阴影部分周长和面积为

Answer 1

如图：点E是以B和以C为圆心的半径为a的圆的交点

      故△BEC是等边三角形

       ∠ECB=60度

       ∠ECD=90度-∠ECB=30度

       ED弧长=30/360×2πa=1/6πa

    阴影部分周长是由8个与ED弧相等的弧组成=1/6πa×8=4/3πa 

过E作AD垂线EF交AD于F交BC于G，

所求四条弧围成的面积=正方形面积-8个图中阴影部分的面积

图中阴影部分的面积=梯形EFDC的面积-扇形CED的面积

△BEC是等边三角形,高EG=√3/2*a

                  EF=a-√3/2*a

梯形EFDC的面积=1/2×(DC+EF)×FD=1/2×(a-√3/2*a+a)×1/2a 

              =1/4(2-√3/2)a²

扇形CED的面积=30/360×πa²=1/12πa²

图中阴影部分的面积=1/4(2-√3/2)a²-1/6πa²

所求四条弧围成的面积= a²-8×【1/4（2-√3/2）a²-1/12πa²】

                  = a²+2/3πa²+√3 a²-4 a²

                  =（2/3π+√3-3)a²