Question

高三数学数列题，求高手解答

已知a>0.数列{an}满足a1=a，an+1=a+ 1/an，（n=1，2…..），an极限存在，an＞0.
设数列bn=an-A，(n=1，2….)试证明bn+1=bn/-A(bn+A);
(2)若数列｜bn｜≤1/2^n对n=1，2……均成立，试求a的取值范围。

Answer 1

应该有A=liman(n趋于∞）.
(1).由已知，两边取极限，得A=a+1/A,
bn+1=an+1-A=(a+ 1/an)-(a+1/A)=1/an-1/A=1/(bn-A)-1/A=bn/-A(bn+A);
(2).由（1）得，A=[a+√(a^2+4)]/2(易得A>0）
由｜b1｜=｜a-[a+√(a^2+4)]/2｜≤1/2,解得a≥3/2
用数学归纳法看证得，当a≥3/2时，｜bn｜≤1/2^n对n=1，2……均成立，
（1）n=1时已验证
（2)假设n=k时，结论成立，即｜bk｜≤1/2^k,则
当n=k+1时，
｜bk+1｜=│bk/[-A（bn+A)]│≤│1/[A(bn+A)]│*1/2^k
而当a≥3/2时，A=[a+√(a^2+4)]/2≥【3/2+5/2】/2=2
│bk+A│≥A-│bk│≥2-1/2^k≥1
A[bn+A)]≥2
故当a≥3/2时，｜bk+1｜│≤│1/[A(bn+A)]│*1/2^k≤1/2*1/2^k=1/2^(k+1),
即当n=k+1时，结论成立
所以，结论对所有正整数都成立
故数列｜bn｜≤1/2^n对n=1，2……均成立的a的取值范围为【3/2，+∞）

Answer 2

A=[√(a²+4)+a]/2

Answer 3

想问个问题，A和a是一样的么？