Question

1996年第11届中国数学奥林匹克（CMO）

谁有1996年第11届中国数学奥林匹克（CMO）的答案，或者直接解答下面的题目：
设函数f:R->R适合条件f(x³+y³)=(x+y)[f²(x)-f(x)f(y)+f²(y)],x,y属于R
证对一切x属于R的，都有f(1996x)=1996f(x)

Answer 1

对任意实数x,y,有f(x^3+y^3)=(x+y)((f² (x) -f(x)*f(y)+f² (y))①
在①中取x=y=0,有f(0)=0
在①中取x=1,y=0,有f(1)=0或1
在①中取y=0,有f(x³)=xf² (x)②
定义集合S如下:S中所有元素由满足下面条件的正数a组成:对于任意实数x,有f(ax)=a*f(x)

首先证明,若a³∈S,则a∈S
事实上,由a∈S,得f(a³ *x³)=a³ *f(x³)
利用②,有ax*f² (ax)=a³*xf² (x)
于是当x≠0时有f² (ax) =a²*f² (x)③
由②可知f(x³)与x同号,所以f(x)与x同号,进而f(ax),a*f(x)都与ax同号,于是利用③得当x≠0时f(ax)=af(x)
显然上式对x=0也成立
所以a∈S

其次,证明,若a³,b³∈S,则a³+b³∈S
事实上,由a³,b³∈S知a,b∈S,于是对于任意实数x,
f((a³+b³)x³)=(ax+bx)(f² (ax)-f(ax)*f(bx)+f² (bx))
=(ax+bx)(a² *f² (x)-af(x)*bf(x)+b² *f² (x))
=(a³+b³)*xf² (x) =(a³+b³)f(x³),
从而a³+b³∈S

最后,利用数学归纳法证明任意正整数n∈S
事实上,n=1显然成立
假设n=1,2,...,k成立,则令a³=1,b³=k,有a³+b³=1+k∈S

所以对于任意正整数n和任意实数x,有f(nx)=nf(x)④

下面分f(1)=0,1两种情形讨论
(1)f(1)=1
利用④有f(n)=n对于任意正整数n成立
又在④中取x=m/n,有f(m/n)=m/n对于任意正整数m,n成立
在①中取x=2,y=-1,有7=4-2f(-1)+f² (-1)
又f(-1)与-1同号,所以f(-1)=-1
于是利用④有f(n)=n对于任意负整数n成立
又在④中取x=m/n,n为任意正整数,m为任意负整数,有f(m/n)=m/n

再结合f(0)=0,有f(x)=x对于任意x∈Q成立

最后,对于任意无理数x,取收敛于x的有理数列{An},有f(An)=An
在f(An)=An中,令n趋于正无穷,取极限得f(x)=x

综上,当f(1)=1时,对于任意实数x,有f(x)=x

(2)f(1)=0
仿上可证明对于任意实数x,有f(x)=0

Answer 2

令x=y=0
f(0)=0
f(x^3+0^3)=xf(x^2)
f(x^3+x^3)=2xf(x^2)=2f(x^3)
f(nx)=nf(x)