Question

大学微积分 求解微分方程：y'=(ysinx)/(xsiny)

请写出求解过程啊~

Answer 1

容易化简得到：(sinx/x)dx=(siny/y)dy
这个函数是无法用常规积分得到答案的，也即∫(sinx/x)dx不能化成初等函数表达，如果是0→∞定积分，结果是π/2,可以泰勒展开，
∫(sinx/x)dx=∫(1/x)(x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+....)dx
=∫(1-x^2/3!+x^4/5!-x^6/7!+......)dx
=x-x^3/3(3!)+x^5/5(5!)-x^7/7(7!)+......+c，针对这道题，似乎是用全微分方程做，如果写成P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,我还没找到积分因子μ(x,y)使得
μ(x,y)P(x,y)dx+μ(x,y)Q(x,y)dy=0，满足全微分条件，我再想想

Answer 2

这个方程的解法叫分离变量法,详细解法如下:
y'=(ysinx)/(xsiny)
等价于dy/dx=(ysinx)/(xsiny)
等价于(sinxdx)/x=(sinydy)/y

Answer 3

y=x