Question

求三角函数sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 的推导过程

求三角函数sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 的推导过程,不要给我拷贝那些乱七八糟的公式,只要知道这个公式的证明过程,有了过程其他的都能依次类推.

Answer 1

首先建立直角坐标系，在直角坐标系xOy中作单位圆O，并作出角a,b，与-b，使角a的开边为Ox，交圆O于点P1，终边交圆O于点P2，角b的始边为OP2，终边交圆O于点P3，角-b的始边为OP1，终边交圆O于点P4。这时P1，P2，P3，P4的坐标分别为：
P1（1，0）
P2(cosa,sina)
P3(cos(a+b),sin(a+b))
P4(cos(-b),sin(-b))
由P1P3=P2P4及两点间距离公式得：
^2表示平方
[cos(a+b)-1]^2+sin^2(a+b)
=[cos(-b)-cosa]^2+[sin(-b)-sina]^2
展开整理得
2-2cos(a+b)
=2-2(cosacosb-sinasinb)
所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
根据诱导公式sin(π/2-a)=cosa

得sin(a+b)=cos[π/2-(a+b)]=sinacosb+cosasinb

Answer 2

(cosA+i*sinA)*(cosB+i*sinB)=cos(A+B)+i*sin(A+B) (复角相加)
=(cosAcosB-sinAsinB)+i*(sinAcosB+cosAsinB) (乘法展开)

然后实虚部相等...
这方法三倍角公式都容易证明