Question

已知函数f(x)=x^2+(a+1)x+lg|a+2| (a∈R,且a≠-2）

（1）若f(x)能表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和，求g(x)和h(x)的解析式。
（2）命题P：函数f(x)在区间[(a+1)^2,正无穷）上市增函数
命题Q：函数g(x)是减函数
如果命题P,Q有且仅有一个真命题，求a的取值范围
（3）在（2）的条件下，比较f(2)与3-lg2的大小

Answer 1

解：
（1）
f(x) =h(x)+g(x)=x²+(a+1)x+lg|a+2| ………………①

f(-x)=h(x)-g(x)=x²-(a+1)x+lg|a+2| ………………②

联立①②解得：

h(x)=x²+lg|a+2|，g(x)=(a+1)x

（2）
①若命题Q为真命题，则命题P为假命题，即a+1＞0且-（a+1）/2＞(a+1)²

a+1＞0即a＞-1,-（a+1）/2＜(a+1)²即-3/2＜a＜-1,交集为空集，此时无解

②若命题P为真命题，则命题Q为假命题，即a+1≤0且-（a+1）/2≥(a+1)²

a+1≤0即a≤-1，-（a+1）/2≤(a+1)²，解得：a≤-3/2或a≥-1

取交集得：a≤-3/2且a≠-2

（3）f(2)-(3-lg2)=4+4(a+1)+lg|a+2|-3+lg2=5+4a+lg|2(a+2)|

根据条件画图可知：5+4a+lg|2(a+2)|＜0，即f(2)＜3-lg2

Answer 2

解：（1）由题意可得 h（x）=x2+lg|a+2|； g（x）=（a+1）x．
（2）由二次函数f（x））=x2+（a+1）x+lg|a+2|的图象是开口向上的抛物线，且的对称轴为 x=-a+1 2 ，
在区间[（a+1）2，+∞）上是增函数，故有 -a+1 2 ≤(a+1)2，解得a≤-3 2 或a≥-1，因为a≠-2．
由函数g（x）是减函数得a+1＜0，解得a＜-1，a≠-2．
当命题P真且命题Q假时，由 a≤-3 2 ，或a≥-1 a≥-1 a≠-2 ，解得a≥-1．
当命题P假且命题Q真时，由 -3 2 ＜a＜-1 a＜-1 a≠-2 ，即得-3 2 ＜a＜-1．
故当命题P、Q有且仅有一个是真命题，得a的取值范围是[-1，+∞)∪(-3 2 ，-1)=(-3 2 ，+∞)．
（3）f（2）=4+2a+2+lg|a+2|=6+2a+lg（a+2），因为在a∈(-3 2 ，+∞)上递增，
所以，f(2)＞6+2•(-3 2 )+lg(-3 2 +2)=3-lg2，即：f（2）∈（3-lg2，+∞）

Answer 3

解：（I）∵f（x）=g（x）+h（x），g（-x）=-g（x），h（-x）=h（x）
∴f（-x）=-g（x）+h（x）
∴g(x)+h(x)=x2+(a+1)x+lg|a+2|-g(x)+h(x)=x2-(a+1)x+lg|a+2|
解得g（x）=（a+1）x，h（x）=x2+lg|a+2|；
（II）∵函数f（x）=x2+（a+1）x+lg|a+2|=(x+a+12)2-(a+1)24+lg|a+2|在区间[（a+1）2，+∞）上是增函数，
∴(a+1)2≥-a+12，解得a≥-1或a≤-32且a≠-2
又由函数g（x）=（a+1）x是减函数，得a+1＜0，∴a＜-1且a≠-2
∴命题P为真的条件是：a≥-1或a≤-32且a≠-2，命题Q为真的条件是：a＜-1且a≠-2．
又∵命题P、Q有且仅有一个是真命题，
∴a＞-32
（III）由（I）得f（2）=2a+lg|a+2|+6
∵a＞-32，∴f（2）=2a+lg（a+2）+6
设函数v（a）=2a+lg（a+2）+6，v′（a）=2+1(a+2)ln10＞0．
∴函数v（a）在区间[-32，+∞)上为增函数．
又∵v(-32)=3-lg2，∴当a＞-32时，v（a）＞v(-32)，即f（2）＞3-lg2．