Question

如图所示，在三角形ABC中，CD是边AB的中线，且DC=2分之1AB，求证三角形ABC是直角

Answer 1

解：如图,延长CD至任意点E

因为CD是中线

所以AD=BD=2分之1AB

因为DC=2分之1AB

所以AD=DC=BD

所以三角形ADC与BDC都是等腰三角形

所以角B等于角DCB

所以角BDC=180度-角B-角DCB

所以角BDE=180度-角BDC=180度-(180度-角B-角DCB)=角B+角DCB

因为角B等于角DCB

所以角BDE=2倍角DCB

同理角ADE=2倍角DCA

所以角ACB=2分之1角EDB+2分之1角EDA=2分之1(角EDB+角EDA)=2分之1角ADB

由于A,D,B在同一条直线上,所以角ADB=180度

所以角ACB=2分之1角ADB=90度

所以三角形ABC是直角三角形

用楼上的方法更简单,但是怕你不会(因为你有可能是初一或初二的学生),说以根据你的知识水平设计的一套解法,您可满意?

Answer 2

【第一种证明方法】：如果你学到圆这部分了，这题就容易说了。我用分析法(俗称倒推法)来证明它。

证明：三角形都有一个唯一的外接圆，

要证∠ACB是直角，它必定是这个外接圆的圆周角。

而直径上的圆周角是直角，所以AB一定是直径。

直径的一半是半径，所以必须有AD＝BD。

那么CD为中线才行。这符合题的已知条件，所以∠ACB是直角。

附说明：从结论入手，倒着推，也是一种证题的方法。例如，高中的“三角”课程中，就有些题必须倒着推来证明。证题的方法很多，如：归纳法、演绎法、归谬法、反证法、列举法……等等。分析法常用于三角恒等式的证明和不等式的证明中。初中课本上的证明方法就是“因为”、“所以”这个格式，其他方法须老师介绍。 

【第二种证明方法】：

如图，延长中线CD到E，使DE＝DC。连结EA、EB。

∵已知 DA＝DB＝DC，∴四边形AEBC的对角线相等、且互相平分，

故这个四边形是矩形。

∴∠ACB是直角。