Question

一道数学题（不等式）

a,b,c是实数，a小于等于b，b小于等于c,且a的平方加上b的平方加上c的平方等于9.求证：abc+1>3a.
注意：此中a,b,c均为实数!

Answer 1

又是这个题，楼上的解法是错的，(abc)^(1/3)≤(abc)/3是没根据的，比如a=10^（-10000),b=10^(-1000),c≈3，就轻松反例。

证明：因为2bc=b^2+c^2-(c-b)^2,所以在a固定的时候(c-b)^2越大则bc越小，因为a≤b≤c，所以当b=a，c²=9-2a²时bc有最小值，即bc≥a√9-2a²，于是abc+1≥1+a²√9-2a²，若a√9-2a²≥3，则abc+1≥1+a²√9-2a²≥1+3a＞3a，命题显然成立，若a√9-2a²＜3，即a²(9-2a²)＜9，则a²＞3或a²＜3/2，但9=a²+b²+c²≥3a²，即有a²≤3，于是只能取a²＜3/2，于是√9-2a²＞√6，于是abc+1≥1+a²√9-2a²＞1+√6a²≥2*[(6)^1/4]a＞3a(因为96＞81)，即a√9-2a²＜3时命题也成立，于是命题成立，证毕。

见这个帖子：http://tieba.baidu.com/f?kz=579514324

Answer 2

a,b,c是实数，a≤b≤c,且a^2+b^2+c^2=9.求证：abc+1＞3a.

根据均值不等式:
n/(1/a1+1/a2+...+1/an)≤(a1a2...an)^(1/n)≤(a1+a2+...+an)/n
≤√[(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]

即3/(1/a+1/b+1/c)≤(abc)^(1/3)≤(abc)/3
≤√[(a^2+b^2+c^2)/3]

(abc)/3≥(abc)^(1/3),
∴abc≥3(abc)^(1/3),
又√[(a^2+b^2+c^2)/3]≥(abc)/3
∴√3≥(abc)/3,
∴1≥(abc)/(3√3)

∴abc+1≥3(abc)^(1/3)+(abc)/(3√3),
＞3(abc)^(1/3)
＞3(aaa)^(1/3)=3a.

Answer 3

额，，，什么年级的题目啊？？？