Question

一道需要用导数解答的数学题

已知函数f(x)=a(x^3-x)在区间(（-3^1/2)/3,(3^1/2))内是减函数，求a的范围。
其实这道题不难 我已经解答出来 但需要比较详细和正确的过程
希望大家能帮帮忙 谢谢~

Answer 1

f(x)=a(x³-x)=ax(x²-1)=ax(x+1)(x-1)

df/dx = 3ax²-a
Let df/dx = 0
So, 3x²=1, x = ±(根号3)/3
x₁= +(根号3)/3, y₁= -2a(根号3)/9,
x₂= -(根号3)/3, y₁= +2a(根号3)/9,

从f(x)=a(x³-x)=ax(x²-1)=ax(x+1)(x-1)
可以看出：
在-1与0之间有一个极大值点，就是(-(根号3)/3,+2a(根号3)/9)
在0与+1之间有一个极小值点，就是(+(根号3)/3,-2a(根号3)/9)
也就是[-(根号3)/3,+(根号3)/3,]是减区间。

a > 0 即可。

若 a < 0, 结论相反。

说明: a的正负决定图像的开口性，a的大小决定极值点的幅度。
所以，本题(（-3^1/2)/3,(3^1/2))内是减函数有误，
应该是(（-3^1/2)/3,(3^1/3))内是减函数
或是 (（-3^1/2)/3,(3^1/4))内是减函数。。。