Question

已知f(x)=loga(1-mx)/1+x （0＜a＜1）为奇函数。（1）求m的值和函数f（

已知f(x)=loga(1-mx)/1+x （0＜a＜1）为奇函数。（1）求m的值和函数f（x）的定义域（2）简单判断f（x）的单调性并解不等式f（2x-1）+f（1-x）＞0

Answer 1

解答如下：
第一问
因为f(x)=log(a)[(1-mx)/(1+x)]
所以f(-x)=log(a)[(1+mx)/(1-x)]
-f(x)=-log(a)[(1-mx)/(1+x)]=log(a)[(1+x)/(1-mx)]
因为f(x)为奇函数，即f(-x)=-f(x)恒成立
即log(a)[(1+mx)/(1-x)]=log(a)[(1+x)/(1-mx)]恒成立
即m=1或m=-1（当判竖亏m=-1时，f(x)=0，其定义域为x≠-1，此时针对第二问就不成立，只考虑第一问这个解没有问题，这也是此题出的歧义之处）
所以f(x)=log(a)[(1-x)/(1+x)]
所以(1-x)/(1+x)>0
解得-1<x<1
即m的值为1，f(x)的定义域为(-1,1)

第二问
由上一问可知
构造函数g(x)=(1-x)/(1+x)
=-(x-1)/(x+1)
=[-(x+1)-2]/(x+1)
=-2/(x+1)-1
由此可以看出g(x)随x的增大而减小，故g(x)为减函数
因为0＜a＜1，所以f(x)为减函数
即f[g(x)]为增函数
f(2x-1)+f(1-x)>0
f(2x-1)>-f(1-x)
f(2x-1)>f(x-1)
故可得纤做
{-1<2x-1<1
{-1<x-1<1
{2x-1>x-1
解上面的不等式组可得0<x<1

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Answer 2

1）因为零无对数，故m≠-1。由奇函数的定义，需有：f(-x)=-f（x）。而f(-x)=loga(1+mx)/(1-x)；-f(x)=-loga(1-mx)/(1+x)=loga(1+x)/(1-mx)，所以有（1+mx）/(1-x)=(1+x)/(1-mx)，进而有：1-m²x²=1-x²，即：m²=1，但已知m≠-1，所以m=1。
再求定义域，只需解不等式（1-x）/(1+x)>0即可。函数的定义域为：（-1，1）。
2）因为0<a<1，所以函数f(x)在整个定义域内都是减函数；
因为f（2x-1)+f(1-x)=loga[1-(2x-1)]/[1+(2x-1)]+log[1-(1-x)]/[1+(1-x)]=loga(1-x)/x+loga[x/(2-x)]=loga(1-x)-logax+logax-loga(2-x)=loga(1-x)/(2-x)>0，兆帆
这是一个底数小于1的对数函数，只有当真数是比1小的正数时，它的对数值才是正的，故需真数满足：0<（1-x）/（2-x）<1，此不等式的解区间应该是（族历雹0，1）。所以，所给不等式f(2x-1)+f(1-x)>0的解区间应是（0，1）。烂唤