Question

已知,三角形ABC中,AC等于BC,角ACB等于90度,D为AB的中点,若E在直线AC上任意一点，

DF垂直于DE，交直线BC于F点，延长CG交AB于点H（1）若E在边AC上，试说明DE等于DF；试说明CG等于GH（2）若AE等于3，CH等于5，求边AC的长

Answer 1

1）证明：①如图①．
∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°．
∵CD为边AB上的中线，
∴CD⊥AB，AD=CD=BD，
∴∠DCB=∠B=45°，
∴∠A=∠DCB，
即∠A=∠DCF．
∵DF⊥DE，
∴∠ADE+∠EDC=90°，∠CDF+∠EDC=90°，
∴∠ADE=∠CDF．
在△AED与△CFD中，

∠A＝∠DFC
AD＝CD
∠ADE＝∠CDF

，
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴AE=CF；

②∵在△ABC中，∠ACB=90°，G为EF的中点，
∴CG=
1
2
EF．
∵DF⊥DE，G为EF的中点，
∴GD=
1
2
EF．
∴CG=GD；

（2）解：①②还成立．
①AE=CF，证明如下：
如图②，∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠B=45°．
∵CD为边AB上的中线，
∴CD⊥AB，AD=CD=BD，∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠EAD=∠180°-∠CAD=135°，∠FCD=180°-∠BCD=135°，
∴∠EAD=∠FCD．
∵DF⊥DE，
∴∠ADE+∠HDF=∠CDF+∠HDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF．
在△AED与△CFD中，

∠EAD＝∠FCD
AD＝CD
∠ADE＝∠CDF

，
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴AE=CF；
②CG=GD．证明如下：
Rt△EFC中，点G是EF边的中点，则CG=
1
2
EF．
在Rt△EFD中，点G是EF边的中点，则GD=
1
2
EF．
则CG=GD；

（3）解：AC=7或1，理由是：
∵AC=BC，CD是AB边上的中线，
∴CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∴∠CHD+∠DCH=90°，∠CDG+∠HDG=90°，
∵由（1）知DG=CG，
∴∠CDG=∠GCD，
∴∠GDH=∠GHD，
∴DG=GH，
∴CG=GH=
1
2
CH=
1
2
×5=2.5，
∵∠EDF=90°，G为EF中点，
∴DG=
1
2
EF，
∴EF=5，
∵AE=3，
∴由（1）知AE=CF，
∴CF=3，
在Rt△ECF中，由勾股定理得：EC=
52−32
=4，
∴AC=AE+CE=3+4=7；
如图②，同理求出EF=5，CF=3，
在R△ECF中，根据勾股定理求出CE=4，
则AC=CE-AE=4-3=1，
综合上述：AC=7或1．