Question

双曲线题：已知F1,F2,分别为双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右焦点,

已知F1,F2,分别为双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右焦点,若在右支上存在点A,使得点F2到直线AF1的距离为2a,则该双曲线的离心率取值范围是
已知F1,F2,分别为双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右焦点,若在右支上存在点A,使得点F2到直线AF1的距离为2a,则该双曲线的离心率取值范围是多少

Answer 1

设 A 点坐标为(m,n)，则左焦点 F1(c,0)与 A 点连线方程为 (m+c)y-n(x+c)=0，右焦点 F2(c,0) 到该直线的距离 |n(c+c)|/√(m²+n²)=2a，即 c²n²/(m²+n²)=a²；所以 e²=c²/a²=1+(m/n)²；
因为 A 是双曲线上的点，故 (m²/a²)-(n²/b²)=1，→ (m/n)²=(a²/b²)+(a²/n²)；
所以 e²=1+(a²/b²)+(a²/n²)>1+(a²/b²)=1+[a²/(c²-a²)]=1+[1/(e²-1)] → e² -1>1/(e² -1) → e²-1>1；
即 e>√2；

追问

右焦点 F2(c,0) 到该直线的距离 |n(c+c)|/√(m²+n²)=2a
公式不对呀，分母应是（根号n^2+(m+c)^2）
为何是你这样

追答

对不住，弄错了；左焦点 F1(-c,0)，直线 F1A 方程：(m+c)y-n(x+c)=0；→ e²-1=(m+c)²/n²；
将 n²=(m²b²/a²)-b²=m²(e²-1)+a²(1-e²)=(e²-1)(m²-a²) 代入上式：e²-1=(m+c)²/[(e²-1)(m²-a²)]；
(e²-1)²=(m+c)²/(m²-a²)=[(m/a)+e]²/[(m/a)²-1]；
因为 m/a≥1，所以上式右端代数式的取值范围为 1~+∞，即 (e²-1)²≥1，所以 e≥√2；