Question

已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2,

又A为椭圆上的点，若lAF1l的最小值为1，离心率为1/2。 (1)求椭圆方程 (2)若l:x+y+1=0与椭圆交于B、C两点，求S三角形ABC的最大值。

Answer 1

（1）椭圆上的点与焦点距离的最小值为 a-c=1 ，又 e=c/a=1/2 ，
因此解得 a=2，c=1 ，
所以 a^2=4，b^2=a^2-c^2=3 ，
因此，椭圆方程为 x^2/4+y^2/3=1 。
（2）联立方程 x^2/4+y^2/3=1 与 x+y+1=0 可得 x^2/4+(-x-1)^2/3=1 ，
化简得 7x^2+8x-8=0 ，
设 B（x1，y1），C（x2，y2），
则 x1+x2= -8/7 ，x1x2= -8/7 ，
所以 |BC|^2=(x2-x1)^2+(y2-y1)^2=(x2-x1)^2+(x1-x2)^2
=2[(x1+x2)^2-4x1x2]=2(64/49+32/7)=576/49 ，
则 |BC|=24/7 ，
当三角形 ABC 面积最大时，A 到直线 BC 距离最大，因此椭圆在 A 处的切线平行于直线 L，
设切线方程为 x+y+c=0 ，联立 x^2/4+y^2/3=1 可得 7x^2+8cx+4c^2-12=0 ，
令判别式=64c^2-28(4c^2-12)=0 ，解得 c= -√7（舍去 √7），切线方程为 x+y-√7=0 ，
由此得两平行间距离即 A 到 BC 的距离为 h=|1+√7|/√2=(1+√7)/√2 ，
所以 SABC 最大值为 1/2*|BC|*h=12/7*(1+√7)/√2 。