Question

已知顶点A(1,5)的抛物线y=ax2+bx+c经过点B(5,1).

（1）求抛物线的函数解析式.

（2）设C，D分别是x轴、y轴上的两个动点，求四边形ABCD周长的最小值.
（3）在（2）中，当四边形ABCD的周长最小时，作直线CD.设点P（x，y）（x＞0）是直线y=x上的一个动点，Q是OP的中点，以PQ为斜边，点R在第一象限内（点R位于直线OP上方，抛物线下方，横坐标大于0），以PQ为斜边构造等腰直角三角形PQR.
1、当△PQR与直线CD有公共点时，求x的取值范围.
2、在1的条件下，记△PQR与△COD的公共部分的面积为S，求S关于x的函数表达式，并求S的最大值.

Answer 1

1﹚
∵抛物线的顶点为A(1,5）
∴可以设抛物线解析式为：y=a﹙x－1﹚²＋5
∵它经过点B﹙5，1﹚ ∴1=a﹙5－1﹚²＋5 ∴a=﹣1／4=﹣0.25
∴抛物线解析式为：y=﹣0.25﹙x－1﹚²＋5
2﹚
∵A﹙1，5﹚ B﹙5，1﹚ ∴AB=4√2
∴四边形ABCD周长=4√2＋BC＋CD＋AD
∴四边形ABCD周长的最小值：就是BC＋CD＋AD的最小值＋4√2
作点B﹙5，1﹚关于X轴的对称点B′﹙﹣5，1﹚
点A﹙1，5﹚关于Y轴的对称点A′﹙1，﹣5﹚
连接A′B′分别交X、Y轴于点C、D
此时线段A′B′的长度就是BC＋CD＋AD的最小值
∵根据轴对称性 不论点D在Y轴的何处 A′D=AD， 同样B′C=BC
∴BC＋CD＋AD=B′C＋CD＋A′D
而B′C＋CD＋A′D的最小值是在B′C、 CD、 A′D构成一条直线时
∴BC＋CD＋AD的最小值=6√2
∴四边形ABCD周长的最小值=6√2＋4√2＝10√2