Question

关于周期数列通项公式求解？

数列：a,b,c,b,a,d,a,b,c,b,a,d,a,b,c,b,a,d,…………
求an=?
最好用三角函数来表示，谢谢，满意回答另加分，
-1/9，1/72，7/27，1/72，-1/9，25/72, -1/9，1/72，7/27，1/72，-1/9，25/72,
通项公式an，

Answer 1

cos(nπ/3)是满足你所要的周期规律的三角函数，但是你还需要一个函数
把(1/2) -> (a),(-1/2) -> (b),(-1) -> (c),(1) -> (d)
这个需要根据a,b,c,d的值来构造。

追问

-1/9，1/72，7/27，1/72，-1/9，25/72, -1/9，1/72，7/27，1/72，-1/9，25/72,
这是实际的题目，我用字母代替，心想方便点，

追答

……你确定是-1/9 1/72 7/27 跟 25/72？

追问

不好意思打错了，-17/72，1/72，7/72，1/72，-17/72，25/72
谢谢了

追答

……这个数列实在是没什么规律可言，研究后我能找到的通过三角函数表示的最为简洁的通项公式是这样的：- -
首先定义Bn=cos(nπ/3)，那么An=(19Bn^3+15Bn^2-44Bn-16)/72，后边这一半就是根据四个值构造的对应函数，当然三角函数的指数可以做转化，一种等价的表示方式是
An=(19cos(nπ)+30cos(2nπ/3)-31cos(nπ/3)-34)/288.

追问

我把n=1,2,3,4,5,6,代入通项公式，值不对啊

这道题就算了吧，好复杂，可以换一道题吗？

追答

我晕，之前步骤繁琐可能有算错的地方- -
首先定义Bn=cos(nπ/3)，那么An=(1/2)Bn^3+(4/9)Bn^2-(3/8)Bn-2/9，
指数化倍数之后An=(1/8)cos(nπ)+(2/9)cos(2nπ/3)，结果很简单，验证无误。- -
至于后边这个求待定系数，方法是统一的，但是也是运算略繁琐，我直接告诉你方法好了- -
先从相对简单的开始求，比如先求D，为了求D，让D有理化总是没错的，D所处的分数分母是1+x,那就两边同时乘以1+x,等式左边分母的1+x被消掉，右边D的分母被消掉，其他项都要乘一个1+x,这个时候等式应该还是成立的，然后令1+x=0，结果右边除了D之外的项都被去掉了，只剩下D，左边可以代入x=-1求值，结果是1/8，也就是D=1/8.
虽然（先左右同时乘以x+1再令x+1=0）意味着（两边同时乘以0），但是这种两边同时乘以0的办法是正确可行的，至于为什么正确，就不在这儿写了- -
然后是求A,B,C,求A的办法与求D是一样的，两边同时乘(1-x)³，然后令1-x=0，可以求出A=1/10.
求B的时候就不那么简单了，因为两边同时乘(1-x)²，A的那一项是消不掉的，所以必须在求出A的值之后才能求B，两边同乘(1-x)²，然后代入A的值两边减去这一项，再令1-x=0就可以求出B的值，我就不求了，一是我比较懒，二是怕算错- -
同样的，求完B之后才能求C，算法是一样的，两边同乘1-x，代入A和B的值并消掉那两项，就可以得到C的值了。
最后还有EFGH四个，没什么好说的，因为他的分母是恒正的，因此上边乘0的方法不能用了，只能在求出ABCD之后，两边消去相应的项，然后与EFGH比对得到结果，也就是说它只能留在最后求- -
EFGH要留在最后求，如果说这样的项有俩怎么办呢？这样的题，手算的唯一办法是两边展开根据同次数未知数的系数相等列出许多等式求解方程组，建议直接交给计算机求解。- -