Question

已知抛物线y=x的平方-2x+m-1与x轴只有一个交点，且与y轴交于点A，设它的顶点为点B 10

问：（1）求m的借。（2）过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证三角形ABC是等腰直角三角形。（3）将此抛物线向下平移4个单位后，得到另一条抛物线，且与x轴的左半轴交于E点，与y轴交于F点，请在该抛物线上求点P，使得三角形EFP是以EF为直角边的直角三角形

Answer 1

                    解：（1）∵抛物线y=x2-2x+m-1与x轴只有一个交点，
∴△=（-2）2-4×1×（m-1）=0，
解得，m=2；

（2）由（1）知抛物线的解析式为y=x2-2x+1，易得顶点B（1，0），
当x=0时，y=1，得A（0，1）．
由1=x2-2x+1，解得，x=0（舍）或x=2，所以C点坐标为：（2，1）．
过C作x轴的垂线，垂足为D，则CD=1，BD=xD-xB=1．
∴在Rt△CDB中，∠CBD=45°，BC=

2    

．
同理，在Rt△AOB中，AO=OB=1，于是∠ABO=45°，AB=

2    

．
∴∠ABC=180°-∠CBD-∠ABO=90°，AB=BC，
因此△ABC是等腰直角三角形；

（3）由题知，抛物线C′的解析式为y=x2-2x-3，
当x=0时，y=-3；
当y=0时，x=-1或x=3，
∴E（-1，0），F（0，-3），即OE=1，OF=3．
第一种情况：若以E点为直角顶点，设此时满足条件的点为P1（x1，y1），作P1M⊥x轴于M．

追问

有别的方法吗，图形的相似我还没学。