Question

已知抛物线C：y=ax^2,p(1,-1)在抛物线C上，过点P作斜率为K1，K2的两条直线，分别交抛

已知抛物线C：y=ax^2,p(1,-1)在抛物线C上，过点P作斜率为K1，K2的两条直线，分别交抛物线C于异于点P的两点A(x1,y1)B(x2,y2)且满足k1+k2=0
1，求抛物线C的焦点坐标
2，若点M满足向量BM=向量MA，求点M的轨迹方程

Answer 1

1、代入易得a=-1,焦点坐标为（0,-1/4）,解析式为y=-x^2
2、根据题意得K2=-K1,过点A的直线方程为：y+1=K1(x-1);过点B的直线方程为：y+1=-K1(x-1)
分别与抛物线y=-x^2联立解方程组，舍去x=1的解分别得到x1=-k1-1,y1=-(-k1-1)^2
x2=k1-1,y2=-(k1-1)^2,并且-k1-1≠1，k1-1≠1，即k1≠±2设M（x,y）
向量BM=(x-(k1-1),y+(k1-1)^2),向量MA=(-k1-1-x,-(-k1-1)^2-y)
他们相等可得：x-(k1-1)=-k1-1-x，y+(k1-1)^2=-(-k1-1)^2-y
整理得x=-1,y=-k1^2-1（k1≠±2）这就是点M的轨迹方程
你可以画图看看，它的图象是一条射线上去掉一点（-1，-5）
不要被y的表达式迷惑，它只表示纵坐标的取值

Answer 2

C的方程整理为标准型：x^2=y/a,所以2p=1/a,将p(1,-1)带入C中得a=-1,所以p=-1/2
C的焦点坐标为（0，-1/4）
{x²=-y
{y+1=k1(x-1) 整理得x²+k1x-1-k1=0 得A（-1-k1，-1-2k1-k1²）
同理可知B（-1-k2，-1-2k2-k2²）
设M（x,y）
BM=（x+1+k2，y+1+2k2+k2²） MA=（-1-k1-x，-1-2k1-k1²-y）
BM=MA
得到x=-1
M的轨迹方程为X=-1