Question

设{an}是公比大于1的等比数列 Sn为数列{an}的前n项和 已知S3=7 且3a2是a1+3和

a3+4的等差中项
(1)求数列{an}的通项公式
(2)设bn=an/（an+1）（an+1+1）数列{bn}的前n项和为Tn 求证Tn＜1/2

Answer 1

（1）解：由已知，得
a1+a2+a3＝7
(a1+3)+(a3+4)/2＝3a2.
解得a2=2．
设数列{an}的公比为q，则a1q=2，
∴a1＝2/q，a3＝a1q^2＝2q．
由S3=7，可知2/q+2+2q＝7，
∴2q^2-5q+2=0，解得q1＝2，q2＝1/2
由题意，得q＞1，∴q=2．
∴a1=1．
故数列{an}的通项为an＝2n−1．
（2）证明：∵bn＝an/(an+1)(an+1+1)
=2n−1/(2n−1+1)(2n+1)
=1/(2n−1+1)−1/2n+1
∴Sn=[1/(1+1)−1/(2^1+1)+(/1/(2^1+1)−1/(2^2+1))+(1/(2^2+1)−1/(2^3+1))+…+(1/(2^n−1+1)−1/2^n+1)=1/(1+1)−1/(2^n+1)=1/2−1/2^n+1＜1/2

追问

（2）里面的2n−1/(2n−1+1)(2n+1)怎么会=1/(2n−1+1)−1/2n+1？我不明白。。

追答

1/[2^(n−1)+1]−1/[2^n+1]
你通分下，就知道了

追问

我的意思是分子原来是2n−1怎么会变成1了？

追答

我忘了打2^(n-1)次方号了

追问

啥？哪一步漏了？