Question

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Answer 1

解：（1）①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，
∴AC=CD，
∵∠BAC=90°－∠B=90°－30°=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
又∵∠CDE=∠BAC=60°，
∴∠ACD=∠CDE，
∴DE∥AC；
②∵∠B=30°，∠C=90°，
∴CD=AC=1/2AB，
∴BD=AD=AC，
根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），
即S1=S2；
故答案为：DE∥AC；S1=S2；

（2）如图，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，
∴BC=CE，AC=CD，
∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM=∠BCN=180°－90°=90°，
∴∠ACN=∠DCM，
∵在△ACN和△DCM中，
∠ACN=∠DCM
∠CMD=∠N=90°，
AC=CD
∴△ACN≌△DCM（AAS），
∴AN=DM，
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），
即S1=S2；

（3）如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，
所以BE=DF1，且BE、DF1的高相等，
此时S△DCF=S△BDE，
过点D作DF2⊥BD，
∵∠ABC=60°，
∴∠F1DF2=∠ABC=60°，
∴△DF1F2的等边三角形，
∴DF1=DF2，
∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，
∴∠DBC=∠DCB=1/2×60°=30°，
∴∠CDF1=180°－30°=150°，
∠CDF2=360°－150°－60°=150°，
∴∠CDF1=∠CDF2，
∵在△CDF1和△CDF2中，
DF1=DF2
∠CDF1=CDF2，
CD=CD
∴△CDF1≌△CDF2（SAS），
∴点F2也是所求的点，
∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，
∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=1/2×60°=30°，
又∵BD=4，
∴BE=1/2×4÷cos30°=2÷√3/2=4√3/3，
∴BF1=4√3/3，BF2=BF1+F1F2=4√3/3+4√3/3=8√3/3，
故BF的长为4√3/3或8√3/3.