Question

已知指数函数y=g x满足 g（3）=8 定义域为R的函数f x=[n-g（x）]÷[m+2g（x）是奇函数

确定y=g（x）的解析式
求m n的值
若对任意的t∈R 不等式f（2t-3t²）+f（t²-k）＞0恒成立 求实数k的取值范围
请各位大神帮忙额。。

Answer 1

答：
设y=g(x)=a^x
g(3)=a^3=8，a=2
g(x)=2^x
f(x)=[n-g(x)]/[m+2g(x)]是R上的奇函数，满足：
f(-x)=-f(x)
f(0)=0
因为：f(x)=(n-2^x)/(m+2*2^x)是奇函数
所以：f(0)=(n-1)/(m+2)=0
解得：n=1
f(x)=(1-2^x)/(m+2*2^x)
f(-x)=[1-2^(-x)] / [m+2*2^(-x)] 分子分母同乘以2^x得：
=(2^x-1)/(m*2^x+2)
=-f(x)
=(2^x-1)/(m+2*2^x)
所以：
m*2^x+2=m+2*2^x恒成立
(2^x-1)m=2*(2^x-1)
m=2
综上所述，m=2，n=1

对任意的t∈R 不等式f（2t-3t²）+f（t²-k）＞0恒成立

f(2t-3t^2)>-f(t^2-k)=f(k-t^2)恒成立
f(x)=(1-2^x)/(2+2*2^x)是R上的单调递减函数
所以：
2t-3t^2<k-t^2恒成立
k>2t-2t^2恒成立
h(t)=2t-2t^2=-2(t-1/2)^2+1/2<=1/2恒成立
所以：k>1/2>=2t-2t^2
所以：k>1/2

Answer 2

指数函数 g(x)=a^x g(3)=a^3=8 a=2
g(x)=2^x

f(x)=[n-g(x)]/[m+2g(x)]
=[n-2^x]/[m+2*2^x] 定义域R,且为奇函数，所以 f(0)=0
f(0)=[n-2^0]/[m+2]=0 n=1
f(x)=[1-2^x]/[m}2*2^x]
f(-x)=-f(x) 所以 m=2
f(x)=(1-2^x)/2(1+2^x)

f(x)=1/(1+2^x)-1/2 因为2^x为增函数，所以 f(x)为减函数
f（2t-3t²）+f（t²-k）＞0
f（t²-k）＞-f（2t-3t²） 奇函数 -f(x)= f(-x)
f（t²-k）＞f（3t²-2t) 减函数
t^2-k<3t^2-2t
2t^2-2t+k>0 恒成立
所以 判别式=4-8k<0
k>1/2
实数k的取值范围 （1/2，+无穷）