Question

复变函数求导问题

设 f (z) = x^2 + i y^2 则 f ' (1+i) = ?

要详细过程

我记得求导f(z) 就是 实部等于 偏u/偏x 虚部等于 偏v/偏x
这道题的话等于2x
然后 x用z代换 y用0代换 最后导数等于2z 然后z代1+i 应该等于 2+2i 呀

可是答案写的是2

求详细解释

Answer 1

设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u和v都是实函数，那么

因此

从而

其中C(y)是与x无关的函数。

根据柯西-黎曼方程，有

其中D(x)是与y无关的函数。

同时根据柯西-黎曼方程，有

那么

注：右边的-3y²改为+3y²

因此

注：下边的-3y²改为+3y²

这里出现了矛盾，你自己验证一下。把两个常数求出来 以后，下面的就好解决了。

Answer 2

注意条件，f(z)只在x=y上可导，f ' (z)=2x他在复平面不解析，所以不能用z代替x，0代替y，
这种情况是在解析的情况才能这样做的

追问

是在整个复平面上解析才能用那个z代替x，0代替y么？ 还是说一个这个要求的点的临域里解析解析？

追答

不要求整个平面解析，只要在某个区域解析就可以

Answer 3

f (z) = x^2 + i y^2 ，u=x^2 ，v=y^2
偏u/偏x=2x., 偏u/偏y=0
偏v/偏x=0., 偏v/偏y=2y
当z=1+i时，x=1,y=1
∴ 偏u/偏x=2x=2= 偏v/偏y=2y=2, 偏u/偏y=0=- 偏v偏x
即f (z) = x^2 + i y^2 在z=处1+i解析且
f ‘ (z) =偏u/偏x+i*偏v/偏x=2x+0i=2 (注意这里x=1.y=1）

Answer 4

楼主你好，求导没错，但是你不要把倒数化成z的形式，就用x来表示，再带入就是答案2了，，，因为你原来的z是用x和y来共同表示的，求导之后怎么能用x直接去代替z呢，你要实在是要用z来表示求导结果的话，那也应该是z和他的共轭复数的和的一半来表示x额，楼主明白了么？

追问

可是平常作业本上的题也都是这么做的

求导之后f(z)是关于x和y的很烦的式子 然后老师说x用z换 y用0代换 最后的结果就可以写成z的表达式
这道题怎么就不能怎么做呢

追答

不是的吧，默认z是等于x和yi的和，我们老师讲的是结果可以直接用x和y来表示，能化成z更好，但是化成z就是利用共轭复数来化，而且说一句闲话，这个题和我们刚结束的考试中的一到填空题一模一样

不是的吧，默认z是等于x和yi的和，我们老师讲的是结果可以直接用x和y来表示，能化成z更好，但是化成z就是利用共轭复数来化，而且说一句闲话，这个题和我们刚结束的考试中的一到填空题一模一样

不是的吧，默认z是等于x和yi的和，我们老师讲的是结果可以直接用x和y来表示，能化成z更好，但是化成z就是利用共轭复数来化，而且说一句闲话，这个题和我们刚结束的考试中的一到填空题一模一样

不是的吧，默认z是等于x和yi的和，我们老师讲的是结果可以直接用x和y来表示，能化成z更好，但是化成z就是利用共轭复数来化，而且说一句闲话，这个题和我们刚结束的考试中的一到填空题一模一样

太不好意思了，手机网络不好，导致同一句话发了这么多次，哎……不好意思啊