Question

已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞2x的解集为（1，3）

已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞2x的解集为（1，3）。
（1）如果方程f（x）+ 6a=0有两个相等的根，求f（x）的解析试；
（2）若函数f（x）的最大值不小于8，求实数a的取值范围；
（3)求函数f（x)在区间（3，4）上的最大值（小括号为中括号）

Answer 1

设f(x)=ax^2+bx+c
则ax^2+(b-2)x+c>0的解为1<x<3
显然x=1,3是方程ax^2+(b-2)x+c=0的两个根且a<0
x=1: a+b+c=2
x=3: 9a+3b+c=6
解得b=2-4a c=3a
所以f(x)=ax^2+(2-4a)x+3a (a<0)

(1)
ax^2+(2-4a)x+9a=0有等根
delta=4+16a^2-16a-36a^2=0
20a^2+16a-4=0
5a^2+4a-1=0
(5a-1)(a+1)=0
a=1/5(舍去) a=-1
所以f(x)=-x^2+6x-3

(2)
f(x)=ax^2+(2-4a)x+3a (a<0)
=a[x^2-(4-2/a)]+3a
=a[x+(1/a-2)]^2-a(1/a-2)^2+3a
<=-a(1/a-2)^2+3a
=3a-1/a+4-4a
=4-a-1/a 为f(x)的最大值
由题意有
4-a-1/a>=8
-a-1/a>=4
-a-1/a-4>=0
-(a^2+4a+1)/a>=0
a^2+4a+1>=0
a<-2-根3 or a>-2+根3
又a<0
所以a<-2-根3 or -2+根3<a<0

(3)对称轴为x=2-1/a
当a<-1时 2-1/a<3 对称轴在[3,4]左侧，故在[3,4]里单减
最大值为f(3)=9a-12a+6+3a=6
当-1<=a<=-1/2时 3<=2-1/a<=4 对称轴在[3,4]里
最大值为f(2-1/a)=4-a-1/a
当-1/2<a<0时 2-1/a>=4 对称轴在[3,4]右侧，故在[3,4]里单增
最大值为f(4)=16a-16a+8+3a=3a+8

Answer 2

设f(x)=ax^2+bx+c
则ax^2+(b-2)x+c>0的解为1<x<3
显然x=1,3是方程ax^2+(b-2)x+c=0的两个根且a<0
x=1:
a+b+c=2
x=3:
9a+3b+c=6
解得b=2-4a
c=3a
所以f(x)=ax^2+(2-4a)x+3a
(a<0)
(1)
ax^2+(2-4a)x+9a=0有等根
delta=4+16a^2-16a-36a^2=0
20a^2+16a-4=0
5a^2+4a-1=0
(5a-1)(a+1)=0
a=1/5(舍去)
a=-1
所以f(x)=-x^2+6x-3
(2)
f(x)=ax^2+(2-4a)x+3a
(a<0)
=a[x^2-(4-2/a)]+3a
=a[x+(1/a-2)]^2-a(1/a-2)^2+3a
<=-a(1/a-2)^2+3a
=3a-1/a+4-4a
=4-a-1/a
为f(x)的最大值
由题意有
4-a-1/a>=8
-a-1/a>=4
-a-1/a-4>=0
-(a^2+4a+1)/a>=0
a^2+4a+1>=0
a<-2-根3
or
a>-2+根3
又a<0
所以a<-2-根3
or
-2+根3<a<0
(3)对称轴为x=2-1/a
当a<-1时
2-1/a<3
对称轴在[3,4]左侧，故在[3,4]里单减
最大值为f(3)=9a-12a+6+3a=6
当-1<=a<=-1/2时
3<=2-1/a<=4
对称轴在[3,4]里
最大值为f(2-1/a)=4-a-1/a
当-1/2<a<0时
2-1/a>=4
对称轴在[3,4]右侧，故在[3,4]里单增
最大值为f(4)=16a-16a+8+3a=3a+8

Answer 3

等式f(x)>-2x解集(1,3)等价于
等式f(x)+2x>0解集(1,3),
设
f(x)=ax^2+bx+c,
f(x)+2x=ax^2+(b+2)x+c,
1,3方程
ax^2+(b+2)x+c=0
两根且a<0,
a+b+2+c=0.....................(1)
9a+3b+6+c=0..................(2)
又
b^2-4a(6a+c)=0...............(3)
解方程(1)(2)b=-(4a+2),
c=3a,
代入(3)
5a^2-4a-1=0,
解之
a=1(舍)a=-1/5
所
f(x)=-x^2/5-6x/5-3/5.
f(x)=-x^2/5-6x/5-3/5=
-(x+3)^2/5+6/5
增区间
(-∞-
3)减区间
(-
3+∞)

Answer 4

因为f（x）>-2x的解集为（1，3），a<0才夹中间.大于0就两边分

Answer 5

太难