Question

多元隐函数二次求导问题

上面图中二阶偏导分成了两项 即以x、y为中间变量思路来求，可是下边的例题里面却不这样啊？为什么？

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Answer 1

求隐函数的导数有两种方法，以F(x,y)=0为例，它确定了隐函数y=f(x)，可以用复合函数求导法则（这是最基本的），方程两边对x求导，然后通过解方程得出f'，注意这里的变量只有x，y是看做x的函数的，所以结果是F'x+F'y*y'=0。也可以用隐函数求导公式（其实这公式就是用上面的方法推出来的），即y'=-F'x/F'y，从上面的推导中可以看出，在求F'x和F'y时都是把x和y看成自变量的，没有将y看成x的函数（把y看成x的函数是从F'y后又乘了一个y'体现出来的），因此用这种方法求导时，x和y的地位是平等的，不把谁看成谁的函数。很明显，你的第一个图片是按复合函数求导做的，而第二个图片是用求导公式做的，所以不一样。

追问

很感谢你
我前几天就认真看了 但 还有些疑问
第一张的公式如果按求导公式做不是也可以么 如果这样子那么就变成第二张图的解法了啊 如果第二张图可以用复合函数求解的话 那么解法不就是第一张图那么写了么
但是结果不一样啊
其实 我是觉得 第二张图的解法完全是第一张中的前一半 一模一样的啊 为什么会省去后一半呢？ 谢谢！

追答

第一张图其实是推导的F(x,y)=0确定的隐函数的二阶导数公式，如果第二张图中的题目你用这个公式去算的话是可以的，但是这个公式太长了，不容易记忆和使用，因此真正求二阶导数时一般都是用我说的那种最基本的方法，即当成复合函数求导来计算，第二张图求二阶导数就是这么算的，这就是其中出现了y'的原因。第二张图前后的方法不一样，求一阶导数用的隐函数求导公式，求二阶导数用的是复合函数求导的方法。