Question

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB,BC,CA的长分别为c,a,b,求△ABC的内切圆半径r。

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB,BC,CA的长分别为c,a,b,求△ABC的内切圆半径r。

Answer 1

解：
设Rt△ABC中，∠C＝90度，BC＝a，AC＝b，AB＝c
结论是：内切圆半径r＝(a＋b－c)/2
或者用：内切圆直径L＝a＋b－c
证明方法一般有两种：
方法一：
如图设内切圆圆心为O，三个切点为D、E、F，连接OD、OE
显然有OD⊥AC，OE⊥BC，OD＝OE
所以四边形CDOE是正方形
所以CD＝CE＝r
所以AD＝b－r，BE＝a－r，
因为AD＝AF，CE＝CF
所以AF＝b－r，CF＝a－r
因为AF＋CF＝AB＝r
所以b－r＋a－r＝r
内切圆半径r＝(a＋b－c)/2
即内切圆直径L＝a＋b－c
方法二：
如图设内切圆圆心为O，三个切点为D、E、F，连接OD、OE、OF，OA、OB、OC
显然有OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB
所以S△ABC＝S△OAC＋S△OBC＋S△OAB
所以ab/2＝br/2＋ar/2＋cr/2
所以r＝ab/(a＋b＋c)
＝ab(a＋b－c)/(a＋b＋c)(a＋b－c)
＝ab(a＋b－c)/[(a＋b)^2－c^2]
因为a^2＋b^2＝c^2
所以内切圆半径r＝(a＋b－c)/2

Answer 2

做出内切圆圆心O
设内切圆
与边AB，BC，CA的切点分别为
E，F，G
连接OE，OF，OG
CG=CF=r，
AG=AE，BE=BF
所以c=AB=AE+BE=AG+BF=a-r+b-r
得r=（a+b-c）/2

Answer 3

将ABC三点分别与圆心相连，同时圆的切线要垂直于过切点的半径，所以使用等积法，三角形ABC的面积为1/2ab=1/2r(a+b+c),半径很容易得到了吧？