Question

定义域在R上的函数f(x)满足：如果对任意x1,X2属于R，都有f[(X1+X2)/2]小于等于1/2【f(x1）+f

定义域在R上的函数f(x)满足：如果对任意x1,X2属于R，都有f[(X1+X2)/2]小于等于1/2【f(x1）+f(x2）】。则称函数f(x)是R上的凹函数。已知：二次函数f(x)等于=ax�0�5+x(a属于R，a不等于零 )。（1）求证；当a=1时，试判断函数f(x)是凹函数；（2）如果x属于[0.1]时，|f(x)|小于等于1，试求实数a的范围。

Answer 1

(1)当a=1时，f(x)=x^2+x (1/2)[f(x1)+f(x2)]-f[(x1+x2)/2]=(1/2)[(x1^2+x1)+(x2^2+x2)]-[(x1+x2)^2/4+(x1+x2)/2]=(x1^2+x2^2)/2-(x1+x2)^2/4=[2(x1^2+x2^2)-(x1^2+2x1x2+x2^2)]/4=(x1^2-2x1x2+x2^2)/4=(x1-x2)^2/4>=0所以 f[(x1+x2)/2]<=(1/2)[f(x1)+f(x2)]所以f(x)是凹函数 （2）当x属于[0,1]，有|f(x)|=|ax^2+x|因为当a>0时，有|f(1)|=|a+1|=a+1>1,不合题意，所以a<=0所以当0<=x1<x2<=1时，f(x2)-f(x1)<=f(x2)-f(x1)=(ax2^2+x2)-(ax1^2-x1)=a(x2^2-x1^2)+(x2-x1)=a(x2-x1)(x2+x1)<=0所以f(x)在[0,1]上是减函数所以f(0)>=f(x)>=f(1) 即0>f(x)>a+1所以 |f(x)|<=|a+1|<=1所以-2<=a<=0

Answer 2

二阶导数大于0，则为凹函数，则有f（x）``=2a，
当a=1时候，2a显然大于0，则f（x）是凹函数。
（2）f（x）`=2ax,把x=1，带进去就可以达到了
不要用单纯的凹凸函数的定义，没中值定理不会很纠结。
联系的两次导数就可以判断。

Answer 3

第一代入咯