Question

高数证明题：设f（x）及g（x）在闭区间ab上连续，且f（x）≥g（x）,证明：若∫（a,b）f（

高数证明题：设f（x）及g（x）在闭区间ab上连续，且f（x）≥g（x）,证明：若∫（a,b）f（x）dx＝∫（a,b）g（x）dx,则在闭区间ab上f（x）≡g（c）

Answer 1

假设f(x)不恒等于g(x) ,令F(x)=f(x)-g(x)因为f(x)>=g(x) 则F(x)>=0
则存在某一点c∈[a,b]使得F(c)>0
有函数的连续性知存在δ>0,使得F(x)在区间(c-δ,c+δ)大于0
那么∫(c-δ-->c+δ)F(x)>0 这与∫(a-->b)F(x)dx=0 矛盾

所以假设不成立 ，即f(x)恒等于g(x)

追问

不要用定积分的性质吗

追答

不行

Answer 2

假设f（x）≡g（c）在ab上并不是处处成立，∵两函数在ab上连续，且f(x)>=g(x)
∴必有闭区间cd包含于ab使f(x)>g(x)
∴∫（c,d）f（x）dx > ∫（c,d）g（x）dx
∴∫（a,c）f（x）dx + ∫（c,d）f（x）dx + ∫（d,b）f（x）dx>
∫（a,c）g（x）dx + ∫（c,d）g（x）dx + ∫（d,b）g（x）dx
即∫（a,b）f（x）dx>∫（a,b）g（x）dx
与题设矛盾，所以假设不成立
∴闭区间ab上f（x）≡g（c）

追问

怎么理解∫（a,b）f（x）dx＞∫（a,b）g（x）dx与题设矛盾

是与题目所给的条件矛盾吗

追答

因为题里不是说了嘛“证明：若∫（a,b）f（x）dx＝∫（a,b）g（x）dx，则。。。”要是一个比另一个大，肯定就不相等了

Answer 3

g（c）？？

追问

g（x）

追答

嗯，看了下面的，应该是对的！

追问

哦哦，谢谢

追答

嗯，已知条件有大于或等于0两种，要证明恒等，你只要证明大于的一种情况不成立，那么剩下的必然成立