Question

正中间，类似有后边两道题如何用夹逼法则和定积分求极限

Answer 1

仿上面的做法（记号略），可得
　　1）lim(n→∞)∑(i=1~n)[i/(n²+i²)]
　　= lim(n→∞)∑(i=1~n){(i/n)/[1+(i/n)²]}(1/n)
　　= ∫[0,1][x/(1+x²)]dx
　　= (1/2)ln(1+x²)|[0,1]
　　= (1/2)ln2。

　　2）由于
　　　{1/{1+[(i+1)/n]²}(1/n) < 1/[n+(i+1)²/n] <1/[n+(i²+1)/n] < 1/[n+(i²+0)/n] = {1/[1+(i/n)²]}(1/n)，
而
　　　lim(n→∞)∑(i=1~n){1/{1+[(i+1)/n]²}(1/n)
　　= ∫[0,1][1/(1+x²)]dx，
及
　　　lim(n→∞)∑(i=1~n){1/[1+(i/n)²]}(1/n)
　　= ∫[0,1][1/(1+x²)]dx，
因此，据夹逼定理
　　　lim(n→∞)∑(i=1~n)1/[n+(i²+1)/n]
　　= arctanx|[0,1]
　　= π/4。