Question

设a1,a2,a3线性无关,证明a1-a2,a2+a3,a3-a1也线性无关

Answer 1

假定a1-a2,a2+a3,a3-a1线性相关，则存在不全为零的系数k1,k2,k3,满足
k1(a1-a2)+k2(a2+a3)+k3(a3-a1)=0 （1）
化简后有
(k1-k3)a1+(k2-k1)a2+(k3+k2)a3=0 （2）
考虑到a1,a2,a3线性无关，则当且仅当
k1-k3=k2-k1=k3+k2=0时，（2）式才成立
由此可得：
k1=k3=k2=0
这与假设矛盾，a1-a2,a2+a3,a3-a1线性相关假设不成立，即a1-a2,a2+a3,a3-a1是线性无关的。