Question

一个可视为质点的质量为m的物体，从半径为r的四分之一光滑圆轨道滑到底端。求时间。（可能会用到微积分

一个可视为质点的质量为m的物体，从半径为r的四分之一光滑圆轨道滑到底端。求时间。（可能会用到微积分）

Answer 1

设运动弧度为a
下降高度为h=r*sin(a), 动能守恒 v=(2*g*h)^0.5=(2*g*r*sin(a))^0.5
dt=ds/v
ds=r*da
dt=(2*r/g/sin(a))^0.5*da
对t 求 a从0到Pi/4的积分

追问

不好意思，我现在高二，还不会微积分，你能简单给我说一下吗？（说一下这道题要用到的）

然后请问d表示什么？

追答

d就是微分，dt是很小的时间片段，ds是很小的位移片段，ds/dt 就是某个位置的瞬时速度
da是很小的弧度片段，因为r*a是弧长，用来替代位移，所以r*da就是ds
因为这道题是变加速运动，不用积分可能比较困难
通过能量守恒找到速度与纵向位移的关系，把经过各位移片段的时间累积起来

追问

对t求a从0到兀/4的积分。这一句完全不懂。怎么求啊？

追答

如果要学会积分，首先要明白导数和求导，积分就是求导的反函数。
举个例子，
Y=X^2, 在任意点X的导数，Y‘=2*X 代表Y(X)在X点的斜率， 也记作 dY/dX

那 Y'=2X 的积分就是 Y(X)=X^2+C, C 为任意常数，对Y'(X)从0到a进行积分,就是Y(a)-Y(0)=a^2-0=a^2, 物理意义就是曲线Y'=2X 在X = (0,a)范围内与X轴围成的三角形的面积，X轴上方面积为正，下方面积为负

题目中 t 就是上例中的Y, a 就是上例中的X，dt/da就是t'
dt=(2*r/g/sin(a))^0.5*da
对t 求 a从0到Pi/4的积分, 就是求2*r/g/sin(a))^0.5 的积分函数 F(a), 然后求得t=F(Pi/4)-F(0)

可能比较晕，还是需要循序渐进，如果有需要，可以看看高等数学教材

追问

嗯，谢谢，虽然不懂，但应该对了

追答

希望能帮你有一些解题想法和思路