Question

若二次函数y=ax^2+bx+c的图像经过A(1,-3)顶点为M

Answer 1

若二次函数y=ax^2+bx+c的图像经过点A(1,-3),顶点为M,
且方程ax^2+bx+c=12的两根为6,-2.
(1)求该抛物线的解析式
（2）试判断抛物线上是否存在一点P，使∠POM=90°。
若不存在，说明理由：若存在，求出点P的坐标
（3）试判断抛物线上是否存在一点K，使∠OMK=90°，
说明理由。（点O为坐标原点）
提示：
因为函数过点A（1.-3），因此a+b+c=-3 ，……………………①
又方程ax²+bx+c=12的两根为6,-2，
则36a+6b+c=12，…………………②
4a-2b+c=12，………………………③
解得a=1 ，b=-4 ， c=0.
故该抛物线的解析式为y=x²－4x 。
⑵抛物线y=x²－4x ＝﹙x－2﹚²－4，
因此顶点M﹙2，﹣4﹚，
因为过O、M的直线的解析式为y＝﹣2x，
因此过O与OM垂直的直线为y＝1／2·x，
抛物线y=x²－4x 与直线y＝1／2·x的交点就是所求的点P，
解得P﹙9／2，9／4﹚；
⑶易求过M与OM垂直的直线为y＝1／2·x－5，
抛物线y=x²－4x 与直线y＝1／2·x－5的交点就是所求的点K，
解得K﹙5／2，﹣15／4﹚。