Question

求与椭圆x^2+4y^2=8有公共焦点的双曲线的方程 使得以次双曲线与椭圆的四个交点为顶点的四边形的面积最大

Answer 1

由对称性，四个交点组成矩形，
设其中一个交点为 P（x，y）（x>0，y>0），
则四边形面积为 S=(2x)*(2y)=4xy=2*x*(2y)<=x^2+(2y)^2=8 ，
因此当 x=2y 且 x^2+4y^2=8 时，即 x=2，y=1 时，四边形面积最大，
椭圆方程化为 x^2/8+y^2/2=1 ，
双曲线与椭圆有公共焦点，因此设双曲线方程为 x^2/(8-k)-y^2/(k-2)=1 (2<k<8) ，
由于双曲线过（2，1），代入得 4/(8-k)-1/(k-2)=1 ，
解得 k=5(舍去0) ，
所以，所求双曲线方程为 x^2/3-y^2/3=1 。