Question

设函数f(x)=lnx－ax。(1)求f(x)单调区间，(2)若a=1/2，g(x)=x<f(x)

设函数f(x)=lnx－ax。(1)求f(x)单调区间，(2)若a=1/2，g(x)=x<f(x)+1>(x＞1)，且g(x)在区间(k,k+1)内存在极值，求整数k的值！

Answer 1

（1）函数f(x)=ln x-ax
求导后得到f‘（x）=1/x-a=（1-ax）/x
当a<=0时，f’（x）=(1-ax)/x>0 所以f（x）在（0，+∞）上单调递增
当a>0时，令f‘（x）>0 得到0<x<1/a
令f‘（x）<0 得到x>1/a
所以此时f（x）在（0,1/a）上单调递增，在（1/a，+∞）上单调递减
(2)a=1/2，g（x）=xlnx-1/2x^2+x
求导后得到g’（x）=lnx-x+2 （x>1）
g(x)在区间(k,k+1)内存在极值
故g‘（k）>0 g'(k+1)<0
即lnk-k+2>0 ln(k+1)-k+1<0
令k=1 不满足题意
令k=2 不满足题意
令k=3 满足题意
令k=4 不满足题意 ……故4 以后的都不满足题意
所以整数k=3
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