Question

数列｛an｝是等差数列，数列｛an｝满足bn=an·a(n+1)·a(n+2) (n∈N+)，设Sn

数列｛an｝是等差数列，数列｛an｝满足bn=an·a(n+1)·a(n+2) (n∈N+)，设Sn为｛bn｝的前n项和。若a12=3/8·a5＞0，则当Sn取得最大值时n的值等于

Answer 1

设{an}公差为d
a12=(3/8)a5
a1+11d=(3/8)(a1+4d)
5a1+76d=0
a1+15.2d=0
a1=-15.2d
a12>0 a1+11d>0
a1>-11d
-15.2d>-11d
d<0 a1>0
a16=a1+15d>0 a17=a1+16d<0
即数列{an}从第17项开始，以后各项均为负
b≤14时，bn>0
b=15时，b15=a15·a16·a17<0
b=16时，b16=a16·a17·a18>0
b≥17时，bn<0
只要考察b16+b15
b15+b16=a15·a16·a17+a16·a17·a18
=a16·a17·(a15+a18)
=a16·a17·(a1+14d+a1+17d)
=2a16·a17·(a1+15.5d)
a1+15.5d<0 a17<0 a16>0
2a16·a17·(a1+15.5d)>0
因此当Sn取得最大值时的n的值为16

提示：本题最容易犯的错误是认为an、a(n+1)、a(n+2)三项均为正的时候，n才能取得最大值。那样的话会得到n的值为14，是错误的，没有注意到b15+b16>0