Question

在三角形的边上取点

在三角形ABC的AB、AC边上取点M、N,又在MN上取第三点P,使BM:MA=AN:NC=MP:PN.求证三角形BPC的面积为三角形AMN的面积的二倍

Answer 1

设BM/MA=AN/NC=MP/PN=k 由BM/MA=k (BM+MA)/MA=1+k MA/AB=1/(1+k) BM/(BM+MA)=k/(1+k) BM/AB=k/(1+k) 由AN/NC=k AN/(AN+NC)=k/(1+k) AN/AC=k/(1+k) (AN+NC)/NC=1+k NC/AC=1/(1+k) 由MP/PN=k MP/(MP+PN)=k/(1+k) MP/MN=k/(1+k) (MP+PN)/PN=1+k PN/MN=1/(1+k) S三角形AMN/S三角形ABC=(AM*AN)/(AB*AC)=(AM/AB)*(AN/AC)=(1/(1+k))*(k/(1+k))=k/(1+k)^2 S三角形AMN=(k/(1+k)^2)*S三角形ABC S三角形BMP=(MP/MN)*S三角形BMN=(MP/MN)(BM/AB)*S三角形ABN =(MP/MN)(BM/AB)(AN/AC)*S三角形ABN =(k/(1+k))(k/(1+k))(k/(1+k))*S三角形ABC =(k^3/(1+k)^3)*S三角形ABC S三角形CNP=(PN/MN)*S三角形MNC=(PN/MN)(NC/AC)*S三角形AMC =(PN/MN)(NC/AC)(AM/AB)*S三角形ABC =(1/(1+k))(1/(1+k))(1/(1+k))*S三角形ABC =(1/(1+k)^3)*S三角形ABC S三角形PBC=S三角形ABC-S三角形AMN-S三角形BMP-S三角形CNP =(1-(k/(1+k)^2)-(k^3/(1+k)^3)-(1/(1+k)^3))*S三角形ABC =(1-(k/(1+k)^2)-((1-k+k^2)/(1+k)^2))*S三角形ABC =(1-(1+k^2)/(1+k)^2)*S三角形ABC =(2k/(1+k^2))*S三角形ABC 所以:S三角形PBC/S三角形AMN=(2k/(1+k^2))/(k/(1+k)^2)=2