Question

急！！！！！如何用一阶偏导数求出二阶偏导数？？？

设u=f(x,y)有二阶连续偏导数,并且x=rcosθ，y=rsinθ，求∂2u/∂r2 求各位大神帮忙呀！我就是弄不懂二阶偏导数怎么求，究竟要怎么用一阶偏导数求出二阶偏导数呢？

Answer 1

　　∂u/∂r = (∂u/∂x)(∂x/∂r) + (∂u/∂y)(∂y/∂r)
　　 　　= (∂u/∂x)*cosθ + (∂u/∂y)*sinθ，

　　∂²u/∂r² = (∂/∂r)(∂u/∂r)
　　　　 = (∂/∂r)[(∂u/∂x)*cosθ + (∂u/∂y)*sinθ]
　　 　　= (∂/∂r)(∂u/∂x)*cosθ+ (∂/∂r)(∂u/∂y)*sinθ
　　 　　= [(∂²u/∂x²)(∂x/∂r)+(∂²u/∂x∂y)(∂y/∂r)]*cosθ+ [(∂²u/∂y∂x)(∂x/∂r)+(∂²u/∂y²)(∂y/∂r)]*sinθ
　　 　　= [(∂²u/∂x²)cosθ+(∂²u/∂x∂y)sinθ)]*cosθ+ [(∂²u/∂y∂x)cosθ+(∂²u/∂y²)sinθ]*sinθ
　　 　　= ……

追问

我想问这里：[(∂²u/∂x²)(∂x/∂r)+(∂²u/∂x∂y)(∂y/∂r)]

为什么一阶导数∂u/∂x在二阶导数里面∂u还能对∂y再求一次导呢？x和y不是互相独立的吗？

追答

这里 ∂u/∂x 还是 x, y 的函数，当然还可以对 y 求导。

追问

那么要怎么判断 ∂u/∂x 是不是 x, y 的函数呢？

追答

不用判断，本来 ∂u/∂x 就还是 x, y 的函数的。