Question

B组第二题，利用柯西准则判别下列级数的收敛性的两个小题，不用函数项级数，交错级数等知识，只用放缩发

B组第二题，利用柯西准则判别下列级数的收敛性的两个小题，不用函数项级数，交错级数等知识，只用放缩发证明，求详细过程，谢谢

Answer 1

（1）令ak=sinkx／2^k，则|∑（k=n to n+p）ak|=
|sinnx／2^n+sin（n+1）x／2^（n+1）+...+sin（n+p）／2^（n+p）|＜=1／2^n+1／2^（n+1）+...+1／2^（n+p）=（1-1／2^（p+1））／（2^n（1-1／2））＜1／2^（n-1）
对任意的ε＞0，存在N=[-lnε／ln2]+2，当n＞N时，对任意的n、p属于正整数，有|∑（k=n to n+p）ak|＜ε
由Cauchy准则知，∑（n=1 to +∞）an收敛

（2）设该级数为∑（n=1 to +∞）bn
（观察知bn具有规律：当n=3k+1、3k+2时bn=1／n，当n=3k+3时bn=-1／n（k=0，1，...））
则|∑（k=3n+1 to 6n）bk|=|1／（3n+1）+1／（3n+2）-1／（3n+3）+...+1／（6n-2+1／（6n-1）+1／（6n）|＞1／（3n+1）+1／（3n+4）+...+1／（6n-2）＞1／（3n+3）+1／（3n+6）+...+1／（6n）=1／3[1／（n+1）+1／（n+2）+...+1／（2n）|＞1／3[n／（2n）]=1／6
取ε0=1／7，则对于任意的N属于正整数，总存在n0=3n+1＞N、m0=6n＞n0，有|∑（k=n0 to m0）bk|＞ε0
由Cauchy准则知，∑（n=1 to +∞）bn发散