Question

已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0

已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0
（1）令ω=1，判断函数y=f（x）+f（x+π/2）的奇偶性，并说明理由；
（2）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移π/6 单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象， ①求y=g（x）在区间[a，a+8π]上零点个数的所有可能值
②若区间[a，b]（a，b∈R，且a＜b）满足：y=g（x）在[a，b]上至少含有30个零点．在所有满足上述条件的[a，b]中，求b-a的最小值

Answer 1

已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0
（1）令ω=1，判断函数y=f（x）+f（x+π/2）的奇偶性，并说明理由；
（2）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移π/6 单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象， ①求y=g（x）在区间[a，a+8π]上零点个数的所有可能值
②若区间[a，b]（a，b∈R，且a＜b）满足：y=g（x）在[a，b]上至少含有30个零点．在所有满足上述条件的[a，b]中，求b-a的最小值
（1）∵函数f(x)=2sin(ωx)
令ω=1，F(x)=f(x)+f(x+π/2)=2sinx+2sin(x+π/2)=2(sinx+cosx)=2√2sin(x+π/4)
∴F(x)为非奇非偶函数
（2）y=2sin2x
图象向左平移π/6 单位，再向上平移1个单位，
得到函数y=g(x)=2sin(2x+π/3)+1
∵函数g(x)，T=π，在每个周期内有两个零点
∴在区间[a,a+8π]上总有8个完整周期，当a≠某一零点时，即有16个零点；当a=某一零点时，即有16+1=17个零点；

由g(x)=2sin(2x+π/3)+1
可知，g(x)max=3，g(x)min=-1，初相=π/3
∴在每个完整周期内，有2个0点
∵区间[a,b]（a,b∈R，且a＜b）满足：y=g（x）在[a，b]上至少含有30个零点．
∴30/2=15，即在[a，b]至多含有15个周期，可保证有30个零点
令g(x)=2sin(2x+π/3)+1=0,
2x+π/3=2kπ-π/6==>x=kπ-π/4
2x+π/3=2kπ-5π/6==>x=kπ-7π/12∴Y轴右侧g(x)第一个零点为5π/12，第二个零点为3π/4，第三个零点为17π/12，第四个零点为5π/4，……，第三十个零点为15π-π/4=59π/4，
∴b-a取最小值时，a=5π/12,b=59π/4∴b-a最小值为59π/4-5π/12=43π/3
或是15π-(π-(3π/4-5π/12))=43π/3

Answer 2

（1）已知函数y=f（x）在[−π /4 ，2π /3 ]上单调递增，且ω＞0，利用正弦函数的单调性可得π /2ω ≥2π /3 ，且−π /2ω ≤−π /4 ，解出即可；
（2）利用变换法则“左加右减，上加下减”即可得到g（x）=2sin2(x+π/ 6 )+1．令g（x）=0，即可解出零点的坐标，可得相邻两个零点之间的距离．若b-a最小，则a和b都是零点，此时在区间[a，mπ+a]（m∈N*）恰有2m+1个零点，所以在区间[a，14π+a]是恰有29个零点，从而在区间（14π+a，b]至少有一个零点，即可得到a，b满足的条件．进一步即可得出b-a的最小值．

解得0＜ω≤3/ 4 ．
（2）f（x）=2sin2x，∴把y=f（x）的图象向左平移π 6 个单位，在向上平移1个单位，得到y＝2sin2(x+π 6 )+1，
∴函数y=g（x）=2sin2(x+π 6 )+1，
令g（x）=0，得x＝kπ+5π/ 12 ，或x=kπ+3π/ 4 （k∈Z）．
∴相邻两个零点之间的距离为π/ 3 或2π/ 3 ．
若b-a最小，则a和b都是零点，此时在区间[a，π+a]，[a，2π+a]，…，[a，mπ+a]（m∈N*）分别恰有3，5，…，2m+1个零点，
所以在区间[a，14π+a]是恰有29个零点，从而在区间（14π+a，b]至少有一个零点，
∴b−a−14π≥π/ 3 ．
另一方面，在区间[5π/ 12 ，14π+π /3 +5π /12 ]恰有30个零点，
因此b-a的最小值为14π+π/ 3 ＝(43π) /3 ．
希望对你能有所帮助。

追问

能不能 看看题 别直接百度啊 要是能查出来 我至于来这提问？

Answer 3

分析：（1）已知函数y=f（x）在
上单调递增，且ω＞0，利用正弦函数的单调性可得
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