Question

如图，四边形ABCD中，AD=BC，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足为E，F，BE=DF，求证：四边形ABCD是平行四边形；

Answer 1

因为DF=BF
所以DF+EF=BE+EF
所以DE=BF
因为在RT三角形AED和RT三角形CFB中
AD=CB,DE=BF
所以RT三角形ADE全等于RT三角形CBF（HL）
所以角ADB=角CBD
所以AD平行于BC
有因为AD=BC(已知)
所以四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

Answer 2

证明：∵ BE=DF
∴ BE+EF=DF=EF
即 BF=DE
又∵ AD=BC
∴ △AED全等于△CFB（HL）
∴ ∠ADE=∠CBF
∴ AD‖BC
∴ 四边形ABCD是平行四边形

Answer 3

解：因为DF=BF
所以DE=BF
因为在RT三角形ADE和RT三角形CBF中
AD=CB
DE=BF
所以RT三角形ADE全等于RT三角形CBF（HL）
所以角ADE=角CBF
所以AD平行于BC
所以四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

Answer 4

∵AE⊥BD，CF⊥BD
∴△AED与△CBE为直角三角形
又∵BE=DF
∴EF+BE=EF+DF
∴BF=DE
∵AD=BC
∴△AED≌△CBE（HL）
∴∠ADE=∠CBD
∴AD//BC （内错角相等，两直线平行.）