Question

如图，抛物线y=-1/2x^2+根号2/2x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点.

如图，抛物线y=-1/2x^2+根号2/2x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点.
（1）求A、B、C三点的坐标
（2）证明△ABC为直角三角形
（3）在抛物线上除C点外，是否还存在另外一个点P，使△ABP是直角三角形，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）0=-1/2x^2+根号2/2x+2，
x^2-√2x-4=0,
x1=2√2，x2=-√2.
∴A(-√2,0),B(2√2,0）。C(0,2).
(2)AB=3√2，AC=√6，BC=2√3，
∴AC^2+BC^2=AB^2，
∴△ABC为直角三角形。
（3）抛物线对称轴l为x=√2/2，还存在另外一个点P（√2，2）与点C关于l对称，使△ABP是直角三角形。