Question

【二次函数求值域】

1、y=根号下(x-4) + 根号下(x-2)

2、y=根号下(x-4) - 根号下(x-2)

3、y=（x^2-4x+1）/(x-1)

4、y=(x^2+a)/根号下x^2+4 (a∈R)

5、y=根号下(x-3)^2 -4 + 根号下(x-5)^2 +1 [这里-4和+1都在根号里的]
【详细清晰过程】

Answer 1

1、y=√(x-4) + √(x-2)
解：定义域：x∈[4,+∞)
可以证明y=√(x-4) + √(x-2)在定义域内单调递增
故：x=4时，取最小值√2
故：值域为[√2,+∞)
[说明：当4≤x1＜x2时，f(x1)-f(x2)= √(x1-4) + √(x1-2) -√(x2-4) -√(x2-2)＜0，因为√(x1-4) -√(x2-4) ＜0，√(x1-2) -√(x2-2)＜0]

2、y=√(x-4) - √(x-2)
解：定义域：x∈[4,+∞)
因为[√(x-4) - √(x-2)][ √(x-4) + √(x-2)]=-2
故：y=√(x-4) - √(x-2)=-2/[√(x-4) + √(x-2)]＜0
因为x1、x2∈[4,+∞)时，0＜√(x1-4) + √(x1-2)＜√(x2-4)+√(x2-2)
故：-2/[√(x1-4) + √(x1-2)]＜-2/[√(x2-4) + √(x2-2)]
故：y=√(x-4) - √(x-2) 在定义域内单调递增
故：x=4时，取最小值-√2
故：值域为[-√2,0)

3、y=（x²-4x+1）/(x-1)
解：因为y=(x²-4x+1）/(x-1),定义域:{x∣x≠1}
故：x²-(4+y)x+1+y=0
故：△=(4+y) ²-（1+y）≥0
故：y²+7y+15恒大于0
故：y∈R
即：值域为R

4、y=(x²+a)/ √(x²+4) (a∈R)
解：因为y=(x²+a)/ √(x²+4)
故：x²=(a-4y)/(y-1)≥0
即：(4y-a)/(y-1)≤0
当a=4时，值域为空集
当a＜4时，a/4≤y＜1，即：值域为[a/4,1)
当a＞4时，1＜y≤a/4，即：值域为(1,a/4]

5、y=√[(x-3)² -4] +√[(x-5) ² +1]
解：y=√[(x-3)² -4] +√[(x-5) ² +1]的定义域为(-∞,1]∪[5,+∞),由√[(x-3)² -4]有意义计算得来
当x∈[5,+∞)时，y=√[(x-3)² -4] +√[(x-5) ² +1]单调递增，故：x=5时，取最小值1，此时y∈[1,+∞)
当x∈(-∞,1]时，y=√[(x-3)² -4] +√[(x-5) ² +1]单调递减，故：x=5时，取最小值1，此时y∈[1,+∞)
故：值域为y∈[1,+∞)
（单调性可以利用定义证明，仿照1的说明）

Answer 2

y=根号下(x-4) + 根号下(x-2)值域[根号2，无穷)

y=根号下(x-4) - 根号下(x-2)=[（x-4)-(x-2)]/(根号下(x-4) + 根号下(x-2))
=-2/(根号下(x-4) + 根号下(x-2))
值域[-根号2,0)

y=（x^2-4x+1）/(x-1)=(x-1)-2+4/（x-1）>=4-2=2

y=(x^2+a)/根号下x^2+4=根号下(x^2+4)+(a-4)/根号下x^2+4
a<=8,[a/2,∞);a>8,[2*根号下(a-4),∞)

y=根号下(x-3)^2 -4 + 根号下(x-5)^2 +1 >=0+根号下(0 +1)=1

Answer 3

1、y=√(x-4) + √(x-2)
------ √2 ≤ y < ∞

2、y=√(x-4) - √(x-2)
------ -√2 ≤ y < ∞

3、y=（x²-4x+1）/(x-1)
------ y'=x²-2x+4=0 --> x1=1+√3, x2=1-√3
值域为：x≠1 的全体实数。

4、y=(x²+a)/(x²+4) (a∈R)
----- a/4 ≤ y < 1 或 1 ≤ y < a/4, 取决于a的大小与正负。

5、y=√[(x-3)²-4] + √[(x-5)²+1]
----- 1 ≤ y < ∞