Question

n阶矩阵A,A^k=0,证E-A可逆，用特征值法证明。

Answer 1

先证A的特征值只有0；
反证法：假设A有一个特征值t不等于0；
那么，根据特征向量的定义，存在X不等于0，
AX=tX；
又A^K=0
则0=(A^k)X=A^(k-1)(tX)=tA^(k-1)X=……=(t^k)X
又t不等于0，t^k不等于0，所以X=0，
与X不等于0矛盾。
所以，A的特征值只有0。
所以1不是特征值。
所以|E-A|不等于0；
所以E-A可逆。