Question

高中数学两道题

已知函数f(x)=log2(1-x)-log2(1+x)
求函数f(x)的定义域
判断f(x)的奇偶性
方程f(x)=x+1是否有根？如果有根x0，请求出一个长度为1/4的区间（a，b），使x0属于（a，b）。如果没有，请说明理由（注：区间（a，b）的长度=b-a)

已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={x|x2-3x+2=0},B={x|1≤x≤5,x属于Z}C={x|2<x<9,x属于Z}
求A∪（B∩C）
求（CUB）∪（CUC）.

请尽量给出过程

Answer 1

1.要使函数有意义则1-x>,1+x>0得-1<x<1,即x∈(-1,1)这就是函数的定义域
f(-x)=log(2)(1+x)-log(2)(1-x)
=-[log(2)(1-x)-log(2)(1+x)]
=-f(x)
所以原函数是奇函数
令f(x)=log(2)(1-x)-log(2)(1+x)=log(2)[(1-x)/(1+x)]=x+1则2*2^x=(1-x)/(1+x)
令g(x)=2*2^x,h(x)=(1-x)/(1+x)现在我们来求这两个函数的值域若有交集则有根若无则无根。
g(x)=2*2^x此函数在其定义域内单调递增（2>1),又-1<x<1,则1<g(x)<4
h(x)=(1-x)/(1+x)此函数在其定义域内单调递减下面来证明
令-1<x1<x2<1则h(x2)-h(x1)=(1-x2)/(1+x2)-(1+x1)/(1+x1)=-2(x2-x1)/(1+x1)(1+x2)<0得证
所以h(x)>0
这两个函数有交集(1,4)所以存在根x0使得f(x)=x+1
先令x=0则g(0)=2*2^0=2,h(0)=(1-0)/(1+0)=1<g(0),上面已证得g(x),h(x)的单调性则x0∈(-1,0)
再令x=-1/2则g(-1/2)=2*2^(-1/2)=√2,h(-1/2)=(1+1/2)/(1-1/2)=3>g(-1/2)则x0∈(-1/2,0)
再令x=-1/4则g(-1/4)=2*2^(-1/4)=2^(3/4)=8^(1/4),h(-1/4)=(1+1/4)/(1-1/4)=5/3=[(5/3)^4]^(1/4)=(7+58/81)^(1/4)<g(-1/4),则x0∈(-1/2,-1/4)刚好为1/4这就是我们要求的区间

2.A＝{1,2},B={1,2,3,4,5},C={3,4,5,6,7,8}
题目要求的跟数字的运算法则类似∪代表并集，∩代表交集
A∪（B∩C)先求交集再求并集＝{1,2,3,4,5}
(C∪B)∪(C∪A)先求括号里的并集再求括号外的并集＝{1,2,3,4,5,6,7,8}

Answer 2

定义域：令1-x>0切1+x>0.则-1<x<1
奇偶性：
令-1<x<1
f(-x)=log2(1+x)-log2(1-x)=-[log2(1-x)-log2(1+x)]=-f(x),所以，为奇函数。

设g(x)=f(x)-(x-1),(-1<x<1),则g(x)'=f(x)'-1,得到g(x)'=ln4/(x^2-1)-1,因为-1<x<1，所以x^2-1<0,g(x)'<0
所以g(x)在-1<x<1上递减，所以-1<g(x)<3,则g(x)可以等于0，即f(x)=x-1有根。
区间，就从（-1，1）中找就行了。

A={1,2}
B∩C={3，4，5},
A∪（B∩C）={1，2，3，4，5},
（CUB）∪（CUC）=CUB={1，2，3，4，5，6，7，8}

Answer 3

a：定义域：f(x)=log2(1-x)-log2(1+x)＝log（1－x／1＋x），所以要 （1－x／1＋x）大于0，所以定义域为（－1，1）
奇偶性：f(－x)＝log2(1＋x)-log2(1－x)，所以f（－x）＝－f（x），为奇函数
有根，根约等于－0.325，因为b-a＝1／4，又因为－0.325小于－0.25,所以（a,b)=(-0.5,0.5)

b：集合A=(2,1),B∩C=(3,4,5),所以A∪（B∩C）＝（1，2，3，4，5）
（CUB）＝（1，2，3，4，5，6，7，8）
CUC＝（2，3，4，5，6，7，8）
（CUB）∪（CUC）＝（1，2，3，4，5，6，7，8）
满意否？

Answer 4

标准解答