Question

高一数学，请解答20题第二问，谢谢！

Answer 1

证明：（I）设BD中点为O，连接OC，OE，
则由BC=CD知，CO⊥BD，
又已知CE⊥BD，EC∩CO=C，
所以BD⊥平面OCE
所以BD⊥OE，
即OE是BD的垂直平分线，
所以BE=DE。
（II）取AB中点N，连接MN，DN，
∵M是AE的中点，
∴MN∥BE，
又MN?平面BEC，BE?平面BEC，
∴MN∥平面BEC，
∵△ABD是等边三角形，
∴∠BDN=30°，
又CB=CD，∠BCD=120°，
∴∠CBD=30°，
∴ND∥BC，
又DN?平面BEC，
BC?平面BEC，
∴DN∥平面BEC，
又MN∩DN=N，
故平面DMN∥平面BEC，
又DM?平面DMN，
∴DM∥平面BEC。

追答

（2）证法一：取AB中点N，连接MN，DN，∵M是AE的中点，∴MN∥BE，又MN平面BEC，BE平面BEC，∴MN∥平面BEC，∵△ABD是等边三角形，∴∠BDN=30°，又CB=CD，∠BCD=120°，∴∠CBD=30°，∴ND∥BC，又DN平面BEC，BC平面BEC，∴DN∥平面BEC，又MN∩DN=N，故平面DMN∥平面BEC，又DM平面DMN，∴DM∥平面BEC

证法二：延长AD，BC交于点F，连接EF，

∵CB=CD，∠BCD=120°，∴∠CBD=30°，∵△ABD是等边三角形，∴∠BAD=60°，∠ABC=90°，因此∠AFB=30°，∴AB=1 2 AF，又AB=AD，∴D为线段AF的中点，连接DM，DM∥EF，又DM平面BEC，EF平面BEC，∴DM∥平面BEC