Question

已知函数fx=ln(e^x+a)是实数集R上的奇函数,函数g(x)=λfx+sinx是区间[-1,1]上的减函数

1，求gx在x∈[-1,1]上的最大值
2，若gx≤t^2+λt+1对∨x∈[-1,1]及λ∈（-∞，-1]恒成立，求t的取值范围

Answer 1

解：
⑴∵f(x)是在R上的奇函数，
∴f(0)=ln(1+a)=0，
∴a=0，
∴g(x)=λln(e^x+0)+sinx=λx+sinx，
∵g(x)在[-1，1]上单调递减，
∴g(x)在[-1，1]上的最大值为g(-1)=-λ-sin1；
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⑵λ∈(-∞，-1]保证了g(x)是区间[-1,1]上的减函数，【可以通过导数来证明】
要使若g(x)≤t^2+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，
只需-λ-sin1≤t^2+λt+1←注意这是个常数，
∴h(λ)=(1+t)λ+t^2+1+sin1≥0在λ∈(-∞，-1]上恒成立，【以λ为自变量的函数】
①当1+t=0时，t=-1，
h(λ)=t^2+1+sin1=2+sin1>0，
成立；
②当1+t<0时，t<-1，
此时h(λ)min=h(-1)=-1-t+t^2+1+sin1=t^2-t+sin1恒大于零，
成立；
③当1+t>0时，t>-1，
h(λ)显然不可能恒大于等于零，
不成立；
综上，t≤-1．

希望能够帮助到你！