Question

请教一道高中数列题

等差数例{an}中，a1>0,前n项和Sn,且S9>0,S10<0,当n为什么数时，Sn最大？请写出详细的解题步骤，不甚感激！

Answer 1

a(1)b(n)+a(2)b(n-1)+...+a(n-1)b(2)+a(n)b(1)=2^(n+1)-n-2,
a(1)b(1)=2^2-1-2=1,
1,
a(n)=1+(n-1)=n,a(1)=1,b(1)=1/a(1)=1,
b(n)+2b(n-1)+...+(n-1)b(2)+nb(1)=2^(n+1)-n-2,
b(n+1)+2b(n)+3b(n-1)+...+nb(2)+(n+1)b(1)=2^(n+2)-(n+1)-2,
b(n+1)+b(n)+b(n-1)+...+b(2)+b(1)=2^(n+2)-(n+1)-2-2^(n+1)+n+2=2^(n+1)-1,
b(n)+b(n-1)+...+b(2)+b(1)=2^n-1,
b(n+1)=2^(n+1)-1-2^n+1=2^n,
b(n)=2^(n-1),
{b(n)}是首项为1，公比为2的等比数列。
2，
b(n)=bq^(n-1),b(1)=b,a(1)=1/b(1)=1/b.
a(1)bq^(n-1)+a(2)bq^(n-2)+...+a(n-1)bq+a(n)b=2^(n+1)-n-2,
a(1)bq^n+a(2)bq^(n-1)+...+a(n-1)bq^2+a(n)bq+a(n+1)b=2^(n+2)-(n+1)-2,
a(1)bq^n+a(2)bq^(n-1)+...+a(n-1)bq^2+a(n)bq=[2^(n+1)-n-2]q,
a(n+1)b=2^(n+2)-(n+1)-2-[2^(n+1)-n-2]q,
a(n)b=2^(n+1)-n-2-[2^n-n-1]q,n=1,2,...
a(n+1)b-a(n)b=2^(n+2)-(n+1)-2-[2^(n+1)-n-2]q-2^(n+1)+n+2+[2^n-n-1]q
=2^(n+1)-1-[2^n-1]q
=2^n[2-q]+q-1,
q=2时，a(n+1)b-a(n)b=q-1=1,{a(n)}是首项为(1/b),公差为(1/b)的等差数列。
a(n)=1/b+(n-1)/b=n/b,n=1,2,...
q不等于2时，a(2)b-a(1)b=2(2-q)+q-1,a(3)b-a(2)b=2^2(2-q)+q-1,
[a(3)b-a(2)b]-[a(2)b-a(1)b]=2(2-q)不等于0。
因此，{a(n)}不是等差数列。
3，
1/aibi是1/[a(i)b(i)]啊，还是b(i)/a(i)啊？迷糊哈。。。

Answer 2

做这道题的关键是须明白该等差数列是递减数列，d<0，（由题意明显得出a10<0，）求n为何数是sn最大其实也就是求n为何数时an>0，而a（n+1）<0。
用到的公式是等差数列求和公式，还有an=a1+（n-1）d。
由题意s9>0,s10<0得：(2a1+8d)*9/2>0,(2a1+9d)*5<0;即a1+4d>0,2a1+9d<0,第一个式子左右两边各乘以一个负号，不等式反向，即
-a1-4d<0,加上第二式，得a1+5d<0,于是我们可由a1+4d>0,a1+5d<0得出a5>0,a6<0,即n=5时sn最大。

Answer 3

n=5时,Sn最大